Question

【题目】已知f（x）=（ax2+ax+x+a）e﹣x（a≤0）．
（1）讨论y=f（x）的单调性；
（2）当a=0时，若f（x1）=f（x2） （x1≠x2），求证x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得：x∈R，f′（x）= ，

若a=0，当x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，

若﹣1＜a＜0时，﹣ ＞1，

∴f（x）在（﹣∞，1）与（﹣ ，+∞）递增，在（1，﹣ ）递减，

若a=﹣1，f′（x）≤0，∴f（x）在R递减，

若a＜﹣1，时，则﹣ ＜1，

∴f（x）在（﹣∞，﹣ ）与（1，+∞）递增，在（﹣ ，1）递减，

综上：若a=0，f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，

﹣1＜a＜0时，f（x）在（﹣∞，1）与（﹣ ，+∞）递增，在（1，﹣ ）递减，

a=﹣1时，f′（x）≤0，∴f（x）在R递减，

a＜﹣1时，f（x）在（﹣∞，﹣ ）与（1，+∞）递增，在（﹣ ，1）递减

（2）证明： a=0时，f（x）=xe﹣x，∴f′（x）=（1﹣x）e﹣x，

∴f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，

∵f（x1）=f（x2），（x1≠x2），

则不妨设x1＜1＜x2，∴2﹣x2＜1，

要证x1+x2＞2，只需证明 x1＞2﹣x2，

由f（x）在（﹣∞，1）递增，

即证f（x2）＞f（2﹣x2），即证 ＜ ，

即证x2＞（2﹣x2） ，

令g（t）=t﹣（2﹣t）e2t﹣2（t＞1），

g′（t）=1+（2t﹣3）e2t﹣2，

g″（t）=（4t﹣4）e2t﹣2＞0，

∴g′（t）在（1，+∞）递增，g′（t）＞g′（1）=0，

∴g（t）在（1，+∞）递增，g（t）＞g（1）=0，

∴g（t）在（1，+∞）上恒大于0，

即x2＞（2﹣x2） ，

即x1+x2＞2

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；（2）不妨设x1＜1＜x2 ， 得到2﹣x2＜1，问题转化为证x2＞（2﹣x2） ，令g（t）=t﹣（2﹣t）e2t﹣2（t＞1），根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．