Question

【题目】如图,在多面体中，底面是边长为2的菱形， ，四边形是矩形，平面平面.

（1）在图中画出过点的平面，使得平面（必须说明画法，不需证明）；

（2）若二面角是，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析: (1)利用面面平行的判定定理作出平面;(2)以为原点, 所在的直线分别为轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系,方法一是设,写出各点坐标,将与平面的角转化为与平面的角,由面与面所成的角为,求出,再求出与平面所成的角.方法二是设,写出各点坐标,设平面的法向量,由 ,求出的一个坐标,再根据已知二面角,求出,再求出与平面所成的角.

试题解析:（1）如图所示，分别取的中点，连接，四边形所确定的平面为平面.

（2）取的中点，连接交于点，连接，

∵四边形为矩形， 分别为的中点，

∴.

因为平面平面，∴平面，∴平面.因为为菱形，即.

以为原点， 所在直线分别为轴， 轴， 轴，如图建立空间直角坐标系.

方法一：因为平面平面，所以与平面所成的角可以转化为与平面所成的角，则平面与平面所成角为.

设，则， ， ， ， ， ，设平面的法向量为，

，令，得.易看出是平面的一个法向量，依题得，解得.

∴，又，∴.

方法二：设，则， ， ，所以， .

设平面的法向量为，则，令，得，由平面，得平面的法向量为，则，所以.又， ，∴.

∴与平面所成角的正弦值为.