Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）证明： .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）对函数求导得，对进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得， 时， 在上是增函数，而， 不成立，故，由（1）可得，即可求出的取值范围；（3）由（2）知，当时，有在恒成立，即，进而换元可得，所以，即可得证.

试题解析：（1）定义域为，

若， ， 在上单调递增

若， ，

所以，当时， ，当时，

综上：若， 在上单调递增；

若， 在上单调递增，在上单调递减

（2）由（1）知， 时， 不可能成立；

若， 恒成立， ，得

综上， .

（3）由（2）知，当时，有在上恒成立，即

令，得，即

，得证.