Question

【题目】已知数列的首项，前项和为，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和Tn，并证明：1≤Tn<.

Answer 1

【答案】(1) an＝3n－1.

(2) . 证明见解析.

【解析】分析：(1)由递推关系式可得{an}是以3为公比的等比数列．且首项为1，则其通项公式为an＝3n－1.

(2)由题意可得，错位相减可得，据此结合的单调性即可证得题中的结论.

详解： (1)由an＋1＝2Sn＋1，得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，

两式相减得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，

故an＋1＝3an(n≥2)，

所以当n≥2时，{an}是以3为公比的等比数列．

因为a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3，＝3，

所以{an}是首项为1，公比为3的等比数列，an＝3n－1.

(2)由(1)知an＝3n－1，故bn＝log3an＋1＝log33n＝n，＝＝n·，

Tn＝1＋2×＋3×＋4×＋…＋n×，①

Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n-1)×+ n×，②

①－②，得Tn＝1＋＋,

所以Tn＝－(＋n). 因为(＋n) >0， 所以Tn＝－(＋n)<.

又因为Tn＋1－Tn＝>0，所以数列{Tn}单调递增，所以(Tn)min＝T1＝1，所以1≤Tn<.