Question

【题目】如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：

（1）BE=EC；
（2）ADDE=2PB2 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，

∵PC=2PA，D为PC的中点，

∴PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA，

∵∠PDA=∠CDE，

∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，

∴OE⊥BC，

∴E是 的中点，

∴BE=EC；

（2）证明：∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，

∴PA2=PBPC，

∵PC=2PA，

∴PA=2PB，

∴PD=2PB，

∴PB=BD，

∴BDDC=PB2PB，

∵ADDE=BDDC，

∴ADDE=2PB2．

【解析】（1）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是 的中点，从而BE=EC；（2）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得ADDE=2PB2 ．