Question

【题目】已知是抛物线： （）上一点， 是抛物线的焦点， 且.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知 ，过 的直线 交抛物线 于 、 两点，以 为圆心的圆 与直线 相切，试判断圆 与直线 的位置关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的方程为；（2）圆与直线相切．

【解析】试题分析：（1）由抛物线的方程，可得焦点坐标与准线方程，过作于点，

连接 ，利用等边三角形，求得的值，即可得到抛物线的方程；

（2）当直线 的斜率不存在时，可得圆 与直线 相切．

当直线的斜率存在时，设方程为，代入抛物线的方程，求得，进而得到直线、的方程，求得点到直线的距离，得到，即可判定直线与圆相切．

试题解析：

（1）抛物线 : （ ）的准线方程为 : ，

过 作 于点 ，连接 ，则 ，

∵ ，∴ 为等边三角形，

∴ ，∴ ．

∴抛物线 的方程为 ．

（2）直线 的斜率不存在时， 为等腰三角形，且 ．

∴圆 与直线 相切．

直线 的斜率存在时，设方程为 ，

代入抛物线方程，得 ，

设 ， ，则 ．

直线 的方程为，即 ，

∴圆 的半径 满足

．

同理，直线 的方程为 ，

到直线 的距离 ， ．

∴ ，∴ ，∴圆 与直线 相切，

综上所述，圆 与直线 相切．