《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第三册人教版》

1.$(x^{2}+2)\left(\frac{1}{x^{2}} -1\right)^{5}$展开式的常数项是 (D)

A.$-3$
B.$-2$
C.$2$
D.$3$

答案： 1.D $\left(\frac{1}{x^{2}}-1\right)^{5}$展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{5}^{k}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{5 - k}(-1)^{k} = (-1)^{k}C_{5}^{k}\frac{1}{x^{10 - 2k}}$令$10 - 2k = 2$或$10 - 2k = 0$，解得$k = 4$或$5$.故$(x^{2} + 2)·\left(\frac{1}{x^{2}}-1\right)^{5}$的展开式的常数项是$(-1)^{4} + 2×(-1)^{5}× C_{5}^{5}=3$.

2.$(x^{3}-2x^{2}+x)^{3}$的展开式中$x^{6}$的系数为 (C)

A.$-1$
B.$1$
C.$-20$
D.$20$

答案： 2.C $(x^{3}-2x^{2}+x)^{3}=x^{3}(x - 1)^{6}$，因此所求$x^{6}$的系数，即为$(x - 1)^{6}$的展开式中$x^{3}$的系数，由二项式定理知系数为$C_{6}^{3}(-1)^{3} = -20$.

3. 设$n\in \mathbf{N}^*$，则$\mathrm{C}_{n}^{0}× 1^{n}× 8^{0} +\mathrm{C}_{n}^{1}× 1^{n - 1}× 8^{1} +\mathrm{C}_{n}^{2}× 1^{n - 2}× 8^{2} +\mathrm{C}_{n}^{3}× 1^{n - 3}× 8^{3} +·s +\mathrm{C}_{n}^{n - 1}× 8^{n - 1} +\mathrm{C}_{n}^{n}× 1^{0}× 8^{n}$除以$9$的余数为 (A)

A.$0$
B.$8$
C.$7$
D.$2$

答案： 3.A 因为$C_{n}^{0}1^{n}8^{0}+C_{n}^{1}1^{n - 1}8^{1}+C_{n}^{1}1^{n - 2}8^{2}+C_{n}^{1}1^{n - 3}8^{3}+·s + C_{n}^{n - 1}1^{1}8^{n - 1}+C_{n}^{n}1^{0}8^{n}=(1 + 8)^{n}=9^{n}$，所以除以$9$的余数为$0$.

4.$(1 + x)^{8}(1 + y)^{4}$的展开式中$x^{2}y^{2}$的系数是 (D)

A.$56$
B.$84$
C.$112$
D.$168$

答案： 4.D 在$(1 + x)^{8}$展开式中含$x^{2}$的项为$C_{8}^{2}x^{2}=28x^{2}$，$(1 + y)^{4}$展开式中含$y^{2}$的项为$C_{4}^{2}y^{2}=6y^{2}$，所以$x^{2}y^{2}$的系数为$28×6 =168$.

5. (多选)$(1 + x^{2})(2 + x)^{4}$的展开式中 (AC)

A.$x^{3}$的系数为$40$
B.$x^{3}$的系数为$32$
C.常数项为$16$
D.常数项为$8$

答案： 5.AC $(1 + x^{2})(2 + x)^{4}=(2 + x)^{4}+x^{2}(2 + x)^{4}$，展开式中$x^{3}$的系数分为两部分，一是$(2 + x)^{4}$中含$x^{3}$的系数$C_{4}^{3}·2 = 8$，二是$(2 + x)^{4}$中含$x$项的系数$C_{4}^{1}·2^{3}=32$，所以含$x^{3}$的系数是$8 + 32 = 40$，故A正确，B错误；展开式中常数项只有$(2 + x)^{4}$展开式的常数项$2^{4}=16$，故C正确，D错误.

6.$\left(x +\frac{1}{x} - 2\right)^{3}$展开式中的常数项是-20

答案： 6.$-20\left(x+\frac{1}{x}-2\right)^{3}=\left[\frac{(x - 1)^{2}}{x}\right]^{3}=\frac{(x - 1)^{6}}{x^{3}}$，上述式子展开式中的常数项只有一项，为$\frac{C_{6}^{3}x^{3}(-1)^{3}}{x^{3}} = -20$，所以$\left(x+\frac{1}{x}-2\right)^{3}$展开式的常数项为$-20$.

7. 已知$(2x + my)(x - y)^{5}$的展开式中$x^{2}y^{4}$的数为$-20$, 则$m$的值为3.

答案： 7.3 $(2x + my)(x - y)^{5}=2x(x - y)^{5}+my(x - y)^{5}$，因为$(x - y)^{5}$的展开式中$xy^{4}$的系数为$C_{5}^{4}$，$x^{2}y^{3}$系数为$-C_{5}^{3}$，所以$(2x+my)(x - y)^{5}$的展开式中$x^{2}y^{4}$的系数为$2C_{5}^{4}-mC_{5}^{3}=-20$，解得$m = 3$.

8.$(x + y + 3)^{5}$展开式中不含$y$的各项系数之和为1024.

答案： 8.1024 由$(x + y + 3)^{5}=[(x + 3)+y]^{5}$，则展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{5}^{k}(x + 3)^{5 - k}y^{k}$，当$k = 0$时，不含$y$的项，$T_{1}=C_{5}^{0}(x +3)^{5}=(x + 3)^{5}$，令$x = 1$，可得不含$y$的各项系数之和为$4^{5}=1024$.

9. 求证:$3^{2n + 2} - 8n - 9(n\in \mathbf{N}^*)$能被$64$整除.

答案： 9.【证明】 $(8 + 1)^{n + 1}-8n - 9 =C_{n + 1}^{0}8^{n + 1}+C_{n + 1}^{1}8^{n}+·s+C_{n + 1}^{n + 1}8^{0}-8n - 9 =C_{n + 1}^{0}8^{n + 1}+C_{n + 1}^{1}8^{n}+·s+C_{n + 1}^{n + 1}8^{2}+(n + 1)×8 + 1-8n - 9 =C_{n + 1}^{0}8^{n + 1}+C_{n + 1}^{1}8^{n}+·s+C_{n + 1}^{n + 1}8^{2}$，上式中的每一项都含有$8^{2}$这个因数，故原式能被$64$整除.

10.$\left(x +\frac{a}{x}\right)\left(2x -\frac{1}{x}\right)^{5}$的展开式中各项系数和为$2$, 求:
(1)实数$a$的值;
(2)展开式的常数项.

答案： 10.【解析】
(1)令$x = 1$，得$(1 + a)(2 - 1)^{5}=2$，$\therefore a = 1$.
(2)由$\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(2x-\frac{1}{x}\right)^{5}=x\left(2x-\frac{1}{x}\right)^{5}+\frac{1}{x}\left(2x-\frac{1}{x}\right)^{5}$，
又$\left(2x-\frac{1}{x}\right)^{5}$的通项为$T_{k + 1}=(-1)^{k}2^{5 - k}C_{5}^{k}x^{5 - 2k}$，
令$5 - 2k = 1$，得$k = 2$，
$\therefore$展开式中$x$的系数为$C_{5}^{2}×2^{5 - 2}×(-1)^{2}=80$.
令$5 - 2k = -1$，得$k = 3$，
$\therefore$展开式中$\frac{1}{x}$的系数为$C_{5}^{3}×2^{5 - 3}×(-1)^{3}=-40$，
$\therefore\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(2x-\frac{1}{x}\right)^{5}$的展开式的常数项为$80 - 40 = 40$.