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2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第三册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第三册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
11. 在$(x - \sqrt{2})^{2026}$的二项展开式中，含$x$的奇次幂的项之和为$S$，当$x = \sqrt{2}$时，$S =$(
A.$2^{3038}$
B.$-2^{3038}$
C.$2^{3039}$
D.$-2^{3039}$
B
)A.$2^{3038}$
B.$-2^{3038}$
C.$2^{3039}$
D.$-2^{3039}$
答案：
11.B 因为$S = \frac{(x - \sqrt{2})^{2026} - (x + \sqrt{2})^{2026}}{2}$，当$x = \sqrt{2}$时，$S = - \frac{2^{3}039}{2} =$ $- 2^{3}038$.
12. (多选)在$(x + 2)^n(n \in N^*)$的展开式中，若含$x^2$项的二项式系数为 21，则下列结论正确的是(
A.$n = 7$
B.展开式中的常数项是 64
C.展开式中二项式系数的最大值是 35
D.展开式中各项系数的和是 2187
ACD
)A.$n = 7$
B.展开式中的常数项是 64
C.展开式中二项式系数的最大值是 35
D.展开式中各项系数的和是 2187
答案：
12.ACD 在$(x + 2)^{n}(n \in \mathbf{N}^{*})$的展开式中，含$x^{2}$的项的二项式系数为$C_{n}^{n - 2} = \frac{n(n - 1)}{2} = 21$，即$n^{2} - n - 42 = 0$，$\because n \in \mathbf{N}^{*}$，$\therefore n = 7$，A正确；展开式中常数项为$T_{0} = 2^{7} = 128$，B错误；展开式中二项式系数的最大值是$C_{7}^{3} = C_{7}^{4} = 35$，C正确；令$x = 1$可得展开式中各项系数的和是$3^{7} = 2187$，D正确.故选ACD.
13. 已知$(ax - \frac{1}{\sqrt{x}})^n(a \in R, n \in N^*)$的展开式中，前三项的二项式系数之和为 16，所有项的系数之和为 1.
(1)求$n$和$a$的值；
(2)展开式中是否存在常数项？若存在，求出常数项；若不存在，请说明理由；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
(1)求$n$和$a$的值；
(2)展开式中是否存在常数项？若存在，求出常数项；若不存在，请说明理由；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
答案：
13.【解析】
(1)由题意得，$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} = 16$，即$1 + n + \frac{n(n - 1)}{2} = 16$.解得$n = 5$，或$n = - 6$(舍去)，所以$n = 5$.因为所有项的系数之和为$1$，令$x = 1$，所以$(a - 1)^{5} = 1$，解得$a = 2$.
(2)不存在.理由如下：因为$(ax - \frac{1}{\sqrt{x}})^{n} = (2x - \frac{1}{\sqrt{x}})^{5}$，所以$T_{k + 1} = C_{5}^{k}(2x)^{5 - k}( - \frac{1}{\sqrt{x}})^{k} = ( - 1)^{k}C_{5}^{k}2^{5 - k}x^{5 - \frac{3}{2}k}(k \in \mathbf{N})$.令$5 - \frac{3k}{2} = 0$，解得$k = \frac{10}{3} \notin \mathbf{N}$，所以展开式中不存在常数项.
(3)由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系数最大，二项式系数最大的两项为$T_{3} = ( - 1)^{2} · C_{5}^{2}2^{5 - 2}x^{5 - 3} = 80x^{2}$，$T_{4} = ( - 1)^{3} · C_{5}^{3}2^{5 - 3}x^{5 - \frac{9}{2}} = - 40x^{\frac{1}{2}}$.
(1)由题意得，$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} = 16$，即$1 + n + \frac{n(n - 1)}{2} = 16$.解得$n = 5$，或$n = - 6$(舍去)，所以$n = 5$.因为所有项的系数之和为$1$，令$x = 1$，所以$(a - 1)^{5} = 1$，解得$a = 2$.
(2)不存在.理由如下：因为$(ax - \frac{1}{\sqrt{x}})^{n} = (2x - \frac{1}{\sqrt{x}})^{5}$，所以$T_{k + 1} = C_{5}^{k}(2x)^{5 - k}( - \frac{1}{\sqrt{x}})^{k} = ( - 1)^{k}C_{5}^{k}2^{5 - k}x^{5 - \frac{3}{2}k}(k \in \mathbf{N})$.令$5 - \frac{3k}{2} = 0$，解得$k = \frac{10}{3} \notin \mathbf{N}$，所以展开式中不存在常数项.
(3)由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系数最大，二项式系数最大的两项为$T_{3} = ( - 1)^{2} · C_{5}^{2}2^{5 - 2}x^{5 - 3} = 80x^{2}$，$T_{4} = ( - 1)^{3} · C_{5}^{3}2^{5 - 3}x^{5 - \frac{9}{2}} = - 40x^{\frac{1}{2}}$.
14. 已知$(1 + m\sqrt{x})^n(m$是正实数)的展开式的二项式系数之和为 256，展开式中含有$x$项的系数为 112.
(1)求$m,n$的值；
(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；
(3)求$(1 + m\sqrt{x})^n(1 - x)$的展开式中含$x^2$项的系数.
(1)求$m,n$的值；
(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；
(3)求$(1 + m\sqrt{x})^n(1 - x)$的展开式中含$x^2$项的系数.
答案：
14.【解析】
(1)由题意可得$2^{n} = 256$，解得$n = 8$，$\therefore$展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{8}^{m}m^{k}x^{\frac{k}{2}}$，$\therefore$含$x$项的系数为$C_{8}^{2}m^{2} = 112$，解得$m = 2$或$m = - 2$(舍去).故$m,n$的值分别为$2,8$.
(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为$C_{8}^{1} + C_{8}^{3} + C_{8}^{5} + C_{8}^{7} = 2^{8 - 1} = 128$.
(3)$\because(1 + 2\sqrt{x})^{8}(1 - x) = (1 + 2\sqrt{x})^{8} - x(1 + 2\sqrt{x})^{8}$，$\therefore$含$x^{2}$项的系数为$C_{8}^{4}2^{4} - C_{8}^{2}2^{2} = 1008$.
(1)由题意可得$2^{n} = 256$，解得$n = 8$，$\therefore$展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{8}^{m}m^{k}x^{\frac{k}{2}}$，$\therefore$含$x$项的系数为$C_{8}^{2}m^{2} = 112$，解得$m = 2$或$m = - 2$(舍去).故$m,n$的值分别为$2,8$.
(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为$C_{8}^{1} + C_{8}^{3} + C_{8}^{5} + C_{8}^{7} = 2^{8 - 1} = 128$.
(3)$\because(1 + 2\sqrt{x})^{8}(1 - x) = (1 + 2\sqrt{x})^{8} - x(1 + 2\sqrt{x})^{8}$，$\therefore$含$x^{2}$项的系数为$C_{8}^{4}2^{4} - C_{8}^{2}2^{2} = 1008$.
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