《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有
(C)

A.27种　　
B.24种　　
C.21种　　
D.18种

答案： 1.C 分两类:一类是2个白球有$C_{6}^{2}=15$(种)取法,另一类是2个黑球有$C_{4}^{2}=6$(种)取法,所以共有$15 + 6 = 21$(种)取法.

2. 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜,7种不同的素菜,用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种素菜和白米饭；
(2)任选一种荤菜、两种素菜和蛋炒饭,则每天不同午餐的搭配方法共有
(A)
A.210种
B.420种
C.56种
D.22种

答案： 2.A 由分类加法计数原理知,两类配餐的搭配方法之和即为所求,所以每天不同午餐的搭配方法共有$C_{7}^{2}C_{3}^{1}+C_{7}^{1}C_{3}^{2}=210$(种).

3. 如图,$\angle MON$的边$OM$上有四个点$A_1,A_2,A_3$，$A_4$,$ON$上有三个点$B_1,B_2,B_3$,则以$O,A_1,A_2$，$A_3,A_4,B_1,B_2,B_3$中三点为顶点的三角形的个数为
(B)


A.30　　
B.42　　
C.54　　
D.56

答案： 3.B 利用间接法,先在8个点中任取3个点,再减去三点共线的情况,所以符合条件的三角形的个数为$C_{8}^{3}-C_{4}^{3}-C_{3}^{3}=42$.

4. 把5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组至少各一人,则不同的分配方案有
(A)

A.80种　　
B.120种　　
C.140种　　
D.50种

答案： 4.A 当甲组中有3人,乙、丙组中各有1人时,有$C_{5}^{3}C_{2}^{1}=20$(种)不同的分配方案;当甲组中有2人,乙组中也有2人,丙组中只有1人时,有$C_{5}^{2}C_{3}^{2}=30$(种)不同的分配方案;当甲组中有2人,乙组中有1人,丙组中有2人时,有$C_{5}^{2}C_{3}^{1}=30$(种)不同的分配方案.故共有$20 + 30 + 30 = 80$(种)不同的分配方案.

5. (多选)在新高考方案中,选择性考试科目有：
物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求,结合自身特长兴趣,首先在物理、历史2门科目中选择1门,再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门,考试成绩计入考生总分,作为统一高考招生录取的依
据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目,下列
说法正确的是　　　　　　　(ABC)

A.若任意选科,选法总数为$C_{2}^{1} C_{4}^{2}$
B.若化学必选,选法总数为$C_{2}^{1} C_{3}^{1}$
C.若政治和地理至多选一门,选法总数为
$C_{2}^{1}C_{2}^{1}C_{2}^{1}+C_{2}^{1}$
D.若物理必选,化学、生物至少选一门,选法
总数为$C_{2} C_{2}^{1}+C_{2}^{1}$

答案： 5.ABC 对于A中,先从物理和历史中,任选1科,再从剩余的四科中任选2科,根据分步乘法计数原理,可得选法总数为$C_{2}^{1}C_{4}^{2}$种,所以A正确;对于B中,先从物理、历史中选1门,有$C_{2}^{1}$种选法,若化学必选,再从生物、政治、地理中再选1门,有$C_{3}^{1}$种选法,由分步乘法计数原理,可得选法共有$C_{2}^{1}C_{3}^{1}$种,所以B正确;对于C中,先从物理和历史中选1门,有$C_{2}^{1}$种选法,若从化学和地理中只选1门,再从化学和生物中选1门,有$C_{2}^{1}C_{1}^{1}$种选法,若政治和地理都不选,则从化学和生物中选2门,只有1种选法,由分类加法计数原理,可得共有$C_{2}^{1}C_{2}^{1}C_{1}^{1}+C_{2}^{1}$种,所以C正确;对于D中,若物理必选,只有1种选法,若化学、生物只选1门,则在政治、地理中选1门,有$C_{2}^{1}C_{2}^{1}$种选法,若化学、生物都选,则只有1种选法,由分类加法计数原理,可得选法总数为$C_{2}^{1}C_{2}^{1}+1$,所以D错误.故选ABC.

6. (多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实
践能力,利用周末进社区义务劳动,高三一共
6个班,其中只有1班有2个劳动模范,本次义务劳动一共20个名额,劳动模范必须参加并
不占名额,每个班都必须有人参加,则下列说
法正确的是　　　　　　　(BD)

A.若1班不再分配名额,则共有$C_{20}^{4}$种分配
方法
B.若1班有除劳动模范之外学生参加,则共有
$C_{19}^{5}$种分配方法
C.若每个班至少3人参加,则共有90种分配
方法
D.若每个班至少3人参加,则共有126种分配
方法

答案： 6.BD 若1班不再分配名额,则20个名额分配到5个班级,每个班级至少1个,根据隔板法,有$C_{19}^{4}$种分配方法,故A错误;若1班有除劳动模范之外学生参加,则20个名额分配到6个班级,每个班级至少1个,根据隔板法,有$C_{19}^{5}$种分配方法,故B正确;若每个班至少3人参加,由于1班有2个劳模,故只需先满足每个班级有2个名额,还剩10个名额,再将10个名额分配到6个班级,每个班级至少1个名额,故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可,故有$C_{9}^{5}=126$种,故C错误,D正确.故选BD.

7. 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小
球排成一排,不同的排列方法有56种.

答案： 7.56 8个小球排好后对应着8个位置,题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球,剩下的位置给白球,由于这3个红球完全相同,所以没有顺序,是组合问题,这样共有$C_{8}^{3}=56$种排法.

8. 某球队有2名队长和10名队员,现选派6人
上场参加比赛,如果场上最少有1名队长,那
么共有714种不同的选法.

答案： 8.714 若只有1名队长入选,则选法种数为$C_{2}^{1}· C_{5}^{3}$;若两名队长均入选,则选法种数为$C_{4}^{4}$,故不同选法有$C_{2}^{1}· C_{5}^{3}+C_{4}^{4}=714$(种).

9. 将4名选调大学生分配到3个乡镇去当村干
部,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有
36种(用数字作答).

答案： 9.36 由题意知有两名大学生去同一个乡镇.分两步完成:第一步,将4名大学生按2,1,1分成三组,其分法有$C_{4}^{2}$种;第二步,将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有$A_{3}^{3}$种.所以满足条件的分配方案有$C_{4}^{2}· A_{3}^{3}=36$(种).