《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第三册人教版》

11. 某城市纵向有4条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角 A 地到东北角 B 地的最短路线共有

A.72条
B.108条
C.126条
D.252条

答案： 11.C 要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，
共有$C_{9}^{4}C_{5}^{5} =126$种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条.故选C.

12. 已知$\mathrm{C}_{m}^{5} = \mathrm{C}_{m}^{6}$，则$\mathrm{C}_{12}^{m - 1} + \mathrm{C}_{12}^{m} + \mathrm{C}_{13}^{m + 1} + \mathrm{C}_{14}^{m + 2} + \mathrm{C}_{15}^{m + 3} =$120.

答案： 12.120 $\because C_{m}^{m} =C_{6}^{6}$,$\therefore m =11$,$\therefore C_{12}^{m - 1} + C_{12}^{m} + C_{13}^{m + 1} + C_{m + 2}^{m + 2} +C_{15}^{m + 3} =C_{12}^{10} + C_{12}^{11} + C_{13}^{13} + C_{14}^{14} =C_{13}^{1} + C_{12}^{13} + C_{14}^{14} =C_{14}^{12} +C_{13}^{1} + C_{14}^{14} =C_{15}^{13} + C_{15}^{14} =C_{16}^{12} =120$.

13. 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法?
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法?

答案： 13.【解析】
(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即$C_{10}^{2} =\frac{10×9}{2×1} =45$.
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有$C_{6}^{2} $种方法;
第2类，选出的2名是女教师有$C_{4}^{2} $种方法.
根据分类加法计数原理，共有$C_{6}^{2} + C_{4}^{2} =15 + 6 =21$种)不同的选法.

14. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠. 例如，在十位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数为24，其中所拨数字小于600的有7个.

答案： 14.24 7 在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，所有的数有$C_{4}^{1}C_{3}^{2} =24$(个)，当下珠拨的是百位档时，上珠只能拨个位档和十位档，有1种情况;当下珠拨的是个位档或十位档时，上珠可以从个、十、百位档中随机选择两个档位各拨一颗，有$C_{3}^{2} =6$(种)情况，所以所拨数字小于600的有$1 + 6 =7$个).