《2026年理想树试题攻略高中数学》

1. 已知$A = \{1,2,a^{2}\}$，$B = \{2,a - 1\}$，若$A\cup B = A$，则$a =$(C)

A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： 1.C 基础考点 根据集合关系求参数的值
[深度解析]因为$A \cup B = A$，所以$B \subseteq A$（题眼），则$a - 1 = a^2$或$a - 1 = 1$。当$a - 1 = a^2$时，$\Delta = -3 ＜ 0$，此时$a$无解；当$a - 1 = 1$时，解得$a = 2$，此时$A = \{1, 2, 4\}$，$B = \{2, 1\}$，满足题意。故选C。
一题多解（排除法）对于A，当$a = -1$时，$a^2 = 1$，此时集合A中的元素不满足互异性，故A错误；对于B，当$a = 1$时，$a^2 = 1$，集合A中元素不符合互异性，故B错误；对于C，当$a = 2$时，集合$A = \{1, 2, 4\}$，$B = \{2, 1\}$，满足题意，故C正确；对于D，当$a = 3$时，集合$A = \{1, 2, 9\}$，集合$B = \{2, 1\}$，不满足元素互异性，故D错误。故选C。

2. 若复数$z = 2 + i$，则$z·\overline{z}=$(A)

A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$

答案： 2.A 基础考点 共轭复数的定义、复数的乘法运算
[深度解析]由题意得，$\bar{z} = 2 - i$，所以$z · \bar{z} = (2 + i)(2 - i) = 4 - i^2 = 4 + 1 = 5$。故选A。
快解（性质法）$z · \bar{z} = |z|^2 = 2^2 + 1^2 = 5$。故选A。

3. 随机变量$X$的分布列为$P(X = 1)=\frac{1}{4}$，$P(X = 2)=\frac{3}{4}$，则$E(X)=$(B)

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{7}{4}$
C.$2$
D.$\frac{13}{4}$

答案： 3.B 基础考点 离散型随机变量的数学期望
[深度解析]根据数学期望的公式，得$E(X) = 1 × \frac{1}{4} + 2 × \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$。故选B。

4. 为了得到函数$y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$的图象，只要把函数$y = \sin x$的图象上所有的点(C)

A.横坐标伸长到原来的$2$倍，向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，纵坐标不变
B.横坐标伸长到原来的$2$倍，向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度，纵坐标不变
C.横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度，纵坐标不变
D.横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，纵坐标不变

答案： 4.C 基础考点 三角函数图象的平移、伸缩变换
[深度解析]因为$y = \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = \sin[2(x + \frac{\pi}{6})]$（题眼），所以将函数$y = \sin x$图象上所有点的横坐标先缩短为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），再将所得图象向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度即可得到函数$y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$的图象。故选C。
易错警示 在三角函数图象的平移、伸缩变换中要注意：
(1)平移：“左加右减”是给$x$本身加(减)平移量，而非括号里的整体；
(2)伸缩：横坐标变为原来的$\frac{1}{\omega}(\omega ＞ 0)$，是将$x$替换为$\omega x$，而非“除以$\omega$”。
题外话 若不按照选项中“先伸缩再平移”的方式进行变换，也可以选择“先平移再伸缩”的方式进行变换，针对本题而言，先平移：将函数$y = \sin x$的图象向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，可以得到函数$y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$的图象；再伸缩：将函数$y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），即可得到函数$y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$的图象。

5. 设$p:x\geq a$，$q:x^{2}+3x - 10＞0$，且$p$是$q$成立的充分不必要条件，则$a$的取值范围是(B)

A.$(0,2)$
B.$(2,+\infty)$
C.$[2,+\infty)$
D.$(2,5]$

答案： 5.B 热门考点 一元二次不等式的解法、根据充分不必要条件求参数的取值范围
[深度解析]由$x^2 + 3x - 10 ＞ 0$，解得$x ＜ -5$或$x ＞ 2$（题眼）。设$A = [a, +\infty)$，$B = (-\infty, -5) \cup (2, +\infty)$，则由$p$是$q$成立的充分不必要条件，得$A \subsetneqq B$（关键：根据充分不必要条件的定义将不等式解集和区间的关系转化为两集合间的关系），所以$a ＞ 2$，此时$a$的取值范围是$(2, +\infty)$。故选B。

6. 已知关于$x$的方程$\frac{a}{x + 1}=e^{x}$恰有两个互异的实数解，则$a$的取值范围是(C)

A.$(-2,+\infty)$
B.$(0,+\infty)$
C.$(-\frac{1}{e^{2}},0)$
D.$(-\infty,1)$

答案：
6.C 热门考点 根据方程根的个数求参数的取值范围、导数在函数中的应用
[深度解析]（根据题目的考查点，明确为已知方程根的个数，第一思路是能参数分离则分离）由$\frac{a}{x + 1} = e^x$，得$a = e^x(x + 1)(x \neq -1)$（提醒：在变形时注意等价变形，即注意变量的取值范围）。设函数$f(x) = e^x(x + 1)(x \neq -1)$，则关于$x$的方程$\frac{a}{x + 1} = e^x$恰有两个互异的实数解转化为直线$y = a$与函数$y = f(x)$的图象有两个不同的交点（题眼）。此时$f'(x) = e^x(x + 1) + e^x = e^x(x + 2)$，令$f'(x) ＜ 0$，解得$x ＜ -2$，所以函数$f(x)$在$(-\infty, -2)$上单调递减；令$f'(x) ＞ 0$，解得$x ＞ -2$且$x \neq -1$，所以函数$f(x)$在$(-2, -1)$，$(-1, +\infty)$上单调递增，所以$f(x)_{极小值} = f(-2) = -\frac{1}{e^2}$，且当$x ＜ -1$时，$f(x) ＜ 0$，当$x ＞ -1$时，$f(x) ＞ 0$，$f(-1) = 0$。作出函数$y = f(x)$的大致图象，如图所示，由图可知，若直线$y = a$与函数$f(x) = e^x(x + 1)$的图象有两个不同的交点，则$-\frac{1}{e^2} ＜ a ＜ 0$，故$a$的取值范围是$(-\frac{1}{e^2}, 0)$。故选C。

7. 已知圆$M$的方程为$(x + 1)^{2}+y^{2}=16$，定点$N(1,0)$，$P$为圆$M$上任意一点，线段$NP$的垂直平分线与直线$MP$相交于点$Q$，则点$Q$的轨迹方程为(B)

A.$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$
B.$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$
C.$\frac{x^{2}}{8}-y^{2}=1$
D.$x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$

答案：
7.B 热门考点 轨迹方程的求法、利用椭圆定义求方程
[深度解析]如图，连接$QN$。由题意知圆$M$的圆心为$M(-1, 0)$，半径$r = 4$。因为$Q$为线段$NP$的垂直平分线上一点，所以$|QN| = |QP|$。又$Q$为线段$MP$上一点，所以$|QP| + |QM| = r = 4$，所以$|QN| + |QM| = |QN| + |QM| = 4 ＞ |MN| = 2$（提示：在三角形中两边之和大于第三边），所以点$Q$在以$M(-1, 0)$，$N(1, 0)$为焦点，$2a = 4$的椭圆上（关键：根据条件判断出曲线的形状），则由$a = 2$，$c = 1$，得$b^2 = a^2 - c^2 = 3$，所以点$Q$的轨迹方程为$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$。故选B。

8. 已知函数$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq0\}$，$f(m + n)=f(m)+f(n)+\frac{n}{m}f(m)+\frac{m}{n}f(n)$，$f(1)=1$，则$\sum_{n = 1}^{10}[f(2n + 1)-f(2n)]=$(A)

A.$230$
B.$201$
C.$157$
D.$119$

答案： 8.A 重难考点 求抽象函数的解析式、等差数列的前$n$项和公式
[深度解析]对于抽象函数$f(m + n) = f(m) + f(n) + \frac{n}{m}f(m) + \frac{m}{n}f(n)$，该如何应用这个条件？可以得到什么结论？遇到抽象函数，表达式中有多个未知数，但是又存在着相同项，可以先合并同类项，从而得到一个比较规律的表达式$\frac{f(m + n)}{m + n} = \frac{f(m)}{m} + \frac{f(n)}{n}$，分式分子中的自变量和对应分母位置的值相同。由$f(m + n) = f(m) + f(n) + \frac{n}{m}f(m) + \frac{m}{n}f(n)$，得$\frac{f(m + n)}{m + n} = \frac{f(m)}{m} + \frac{f(n)}{n}$。（接下来考虑赋值法，已知$f(1) = 1$，所以将$m = x$，$n = 1$代入到等式中，可以得到只含有$x$的表达式）令$m = x$，$n = 1$，得$\frac{f(x + 1)}{x + 1} = \frac{f(x)}{x} + \frac{f(1)}{1}$。（明显得到了当自变量相差1时，函数之间的关系式，构造函数即可解决问题）令$g(x) = \frac{f(x)}{x}$，则有$g(x + 1) - g(x) = 1$，所以$g(x) - g(x - 1) = 1$，所以$g(x) = g(x - 1) + 1$（提示：通过构造函数，并通过赋值得到函数的递推关系），$g(x - 1) = g(x - 2) + 1$，$g(x - 2) = g(x - 3) + 1$，$·s$，$g(2) = g(1) + 1$，将以上各式相加，得$g(x) = g(1) + x - 1$，即$\frac{f(x)}{x} = \frac{f(1)}{1} + x - 1 = x$，所以$f(x) = x^2$，所以$f(2n + 1) - f(2n) = (2n + 1)^2 - (2n)^2 = 4n + 1$，所以$\sum_{n = 1}^{10}[f(2n + 1) - f(2n)] = 5 + 9 + ·s + 41 = \frac{(5 + 41) × 10}{2} = 230$。故选A。
一题多解 由抽象函数$f(m + n) = f(m) + f(n) + \frac{n}{m}f(m) + \frac{m}{n}f(n)$，得$\frac{f(m + n)}{m + n} = \frac{f(m)}{m} + \frac{f(n)}{n}$（提示：类比数列可以发现其项数和项之间的关系），令$m = 1$，则$\frac{f(n + 1)}{n + 1} = \frac{f(n)}{n} + 1$，其中$a_1 = 1$，从数列递推关系式来看，数列$\{\frac{a_n}{n}\}$是以1为首项，以1为公差的等差数列，通项公式为$\frac{a_n}{n} = n$，所以$a_n = n^2$，则$f(2n + 1) - f(2n) = a_{2n + 1} - a_{2n} = (2n + 1)^2 - (2n)^2 = 4n + 1$，令$b_n = 4n + 1$，所以求$\sum_{n = 1}^{10}[f(2n + 1) - f(2n)]$等价于求数列$\{b_n\}$的前10项和，所以$\sum_{n = 1}^{10}[f(2n + 1) - f(2n)] = \frac{(5 + 41) × 10}{2} = 230$。故选A。
关键点拨 解答本题的关键有：
(1)通过赋值结合已知等式得到$f(x + 1)$，$f(x)$的关系式；
(2)根据所得关系式构造相应函数，并利用累加法求得$f(x)$的解析式。

9. 如图，$EA$和$DC$都垂直于平面$ABC$，且$EA = 2DC$，$CA = CB$，点$F$在$BE$上，则（ABD）


A.$EA// DC$
B.若$F$为$BE$中点，则$DF//$平面$ABC$
C.存在点$F$使得平面$DEF//$平面$ABC$
D.存在点$F$使得平面$DCF\perp$平面$ABE$

答案：
9.ABD 经典题型 线面平行与线面垂直的判定定理、利用线面垂直证线线平行
[深度解析]对于A，由题可得，$EA \perp$平面$ABC$，$DC \perp$平面$ABC$，所以$EA // DC$，故A正确。
对于B，如图①，取线段$AB$的中点$G$，连接$CG$，$FG$。又$F$为$BE$中点，所以$FG // AE$，且$FG = \frac{1}{2}AE$。因为$EA = 2DC$，所以$CD = \frac{1}{2}AE$，由A选项可得，$CD // AE$，所以$FG // CD$，则四边形$FGCD$为平行四边形，所以$DF // CG$。又$DF \not\subset$平面$ABC$，$CG \subset$平面$ABC$，所以$DF //$平面$ABC$，故B正确。
对于C，假设存在点$F$使得平面$DEF //$平面$ABC$，因为平面$DEF \cap$平面$ABE = EF$，平面$ABC \cap$平面$ABE = AB$，所以$EF // AB$（提示：面面平行的性质的应用，即两个平行平面与第三个平面相交，交线平行），而$EF \cap AB = B$，故假设不成立，故C错误。
对于D，当点$F$为$BE$中点时，平面$DCF \perp$平面$ABE$，证明如下：因为$CA = CB$，所以$CG \perp AB$。因为$AE \perp$平面$ABC$，$CG \subset$平面$ABC$，所以$AE \perp CG$。因为$AB \cap AE = A$，$AB$，$AE \subset$平面$ABE$，所以$CG \perp$平面$ABE$。由B选项可知$DF // CG$，所以$D$，$C$，$G$，$F$四点共面，则$CG \subset$平面$DCF$，所以平面$DCF \perp$平面$ABE$，故D正确。故选ABD。
一题多解 当$F$为$BE$中点时，取线段$AB$的中点为$G$，连接$CG$，$FG$。又$F$为$BE$中点，所以$FG // AE$，因为$EA \perp$平面$ABC$，所以$FG \perp$平面$ABC$。又$CA = CB$，所以$CG \perp AB$，以点$G$为原点，以$GC$所在直线为$x$轴，以$GB$所在直线为$y$轴，以$GF$所在直线为$z$轴，建立如图②所示空间直角坐标系。
设$CD = a$，$CA = CB = b$，$AB = 2c$，则$AE = 2a$，$A(0, -c, 0)$，$E(0, -c, 2a)$，$C(\sqrt{b^2 - c^2}, 0, 0)$，$D(\sqrt{b^2 - c^2}, 0, a)$。
对于A，$\overrightarrow{EA} = (0, 0, -2a)$，$\overrightarrow{DC} = (0, 0, -a)$，显然，$\overrightarrow{EA} = 2\overrightarrow{DC}$，所以$EA // DC$，故A正确；
对于B，当$F$为$BE$中点时，$F(0, 0, a)$，则$\overrightarrow{DF} = (-\sqrt{b^2 - c^2}, 0, 0)$，平面$ADC$的一个法向量为$\overrightarrow{EA} = (0, 0, -2a)$，此时$\overrightarrow{DF} · \overrightarrow{EA} = 0$，所以$DF \perp EA$，则$DF //$平面$ABC$，故B正确；C，D选项同深度解析。故选ABD。

10. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有如下问题：把$100$个面包分给$5$个人，每人分得面包数均为正整数且构成等差数列，则(ABC)

A.$5$人中必有一人分得$20$个面包
B.$5$人中若有一人分得$16$个面包，则必有一人分得$24$个面包
C.若分得面包较多的三份之和是较少两份之和的$3$倍，则最少一人分得$10$个面包
D.某人最多分得$36$个面包

答案： 10.ABC 新趋考点 等差数列的应用
[深度解析]由题意得，设5人得到的面包数分别为$a - 2d$，$a - d$，$a$，$a + d$，$a + 2d$，$d \in \mathbf{N}$，则$a - 2d + a - d + a + a + d + a + 2d = 5a = 100$，所以$a = 20$，所以5人中必有一人分得20个面包，故A正确。
对于B，若$20 - 2d = 16$，则$d = 2$，此时这5人得到的面包数分别为16，18，20，22，24；若$20 - d = 16$，则$d = 4$，此时这5人得到的面包数分别为12，16，20，24，28，所以5人中若有一人分得16个面包，则必有一人分得24个面包，故B正确。
对于C，由A可得，5人中必有一人分得20个面包，且一定是第3个人，所以若分得面包较多的三份之和是较少两份之和的3倍，则$20 + 20 + d + 20 + 2d = 3(20 - 2d + 20 - d)$，解得$d = 5$，此时这5人得到的面包数分别为10，15，20，25，30，故C正确。
对于D，因为每人分得的面包数均为正整数，所以$20 - 2d \geqslant 1$，即$d \leqslant 9$。又$d \in \mathbf{N}$，则$d = 9$时，最多一人分得$20 + 2d = 38$（个）面包，故D错误。故选ABC。
一题多解 对于A，（性质法）设5人得到的面包数依次构成等差数列$\{a_n\}$，则有$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 5a_3 = 100$，解得$a_3 = 20$（提示：在等差数列中，当项数为奇数时，以中间项为中心，向两侧对称加减公差，求和时可直接用“项数×中间项”快速计算），所以5人中必有一人分得20个面包，故A正确。
对于B，若$a_1 = 16$，则公差$d = \frac{a_3 - a_1}{3 - 1} = \frac{20 - 16}{2} = 2$，则$a_5 = a_3 + 2d = 20 + 4 = 24$；若$a_2 = 16$，则公差$d = a_3 - a_2 = 20 - 16 = 4$，则$a_4 = a_3 + d = 20 + 4 = 24$，所以5人中若有一人分得16个面包，则必有一人分得24个面包，故B正确；
对于C，设5人得到的面包数分别为$a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$，$a_5$（$a_1 ＜ a_2 ＜ a_3 ＜ a_4 ＜ a_5$），公差为$d(d ＞ 0)$，所以$3(a_1 + a_2) = a_3 + a_4 + a_5$，化简可得$a_4 = a_1 + a_2$，即$a_1 + 3d = a_1 + a_1 + d$，解得$a_1 = 2d$，根据A选项可知，$a_3 = a_1 + 2d = 4d = 20$，解得$d = 5$，此时这5人得到的面包数分别为10，15，20，25，30，故C正确。D选项同深度解析。故选ABC。