《2026年理想树试题攻略高中数学》

11. 在$ \triangle A B C $中,$ P $为边$ A B $上一点,$ C P = 1 $,$ \angle A C P = 30 ^ { \circ } $,$ \angle B C P = 45 ^ { \circ } $,$ A P = \lambda B P $,$ \angle C P B = \theta $,则 (BCD)


A.若$ \theta = 120 ^ { \circ } $,则$ \sin B = \frac { \sqrt { 6 } - \sqrt { 2 } } { 2 } $
B.若$ \theta = 120 ^ { \circ } $,则$ \lambda = \frac { \sqrt { 3 } - 1 } { 4 } $
C.若$ \lambda = 1 $,则$ A C = \sqrt { 2 } B C $
D.当$ \triangle A B C $面积最小时,$ \tan \theta = \sqrt { 3 } + 1 $

答案： 11.BCD 重难考点正弦定理、三角形面积公式、两角和与差的正弦公式
[深度解析]对于A，因为$\angle BCP = 45°$，$\angle BPC = \theta = 120°$，则$B = 15°$，所以$\sin B = \sqrt{\frac{1 - \cos 2B}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \cos 30°}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$（提示：二倍角公式的应用），故A错误。
对于B，因为$\angle ACP = 30°$，$\angle BPC = \theta = 120°$，则$A = 90°$（提示：三角形外角定理的应用），所以$CA = \sqrt{3} AP$。由选项A可知，$\sin B = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$，所以$\cos B = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$，$\tan B = \frac{CA}{AB} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$，即$CA = (2 - \sqrt{3})AB = (2 - \sqrt{3})(AP + PB)$，所以$\sqrt{3} AP = (2 - \sqrt{3})(AP + PB)$，解得$AP = \frac{\sqrt{3} - 1}{4} PB$，故B正确。
对于C，当$\lambda = 1$时，$AP = PB$，即$P$为$AB$中点。在$\triangle ACP$中，由正弦定理得$\frac{AC}{\sin \angle CPA} = \frac{AP}{\sin \angle ACP}$，即$AC = 2AP · \sin \angle CPA$。在$\triangle BCP$中，由正弦定理得$\frac{BC}{\sin \angle BPC} = \frac{BP}{\sin \angle BCP}$，即$BC = \sqrt{2} BP · \sin \angle BPC$。又因为$\angle CPA + \angle BPC = 180°$，所以$\sin \angle CPA = \sin \angle BPC$（小结：互补的两个角的正弦值相等，而余弦值互为相反数），所以$\frac{AC}{BC} = \sqrt{2}$，即$AC = \sqrt{2} BC$，故C正确。
对于D，$S_{\triangle BCP} = \frac{1}{2} BC · CP \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{4} BC$，$S_{\triangle ACP} = \frac{1}{2} AC · CP \sin 30° = \frac{1}{4} AC$，所以$S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{2}}{4} BC + \frac{1}{4} AC$。在$\triangle ACP$中，由正弦定理得$\frac{AC}{\sin (180° - \theta)} = \frac{CP}{\sin (\theta - 30°)}$，化简得$AC = \frac{\sqrt{3} \sin \theta}{\sin \theta \cos 30° - \cos \theta \sin 30°} = \frac{\sqrt{3} \sin \theta}{\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta - \frac{1}{2} \cos \theta}$。在$\triangle BCP$中，由正弦定理得$\frac{BC}{\sin \theta} = \frac{CP}{\sin (135° - \theta)}$，化简得$BC = \frac{\sqrt{2} \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta}$。所以$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} + \frac{\sqrt{3} \sin \theta}{\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\tan \theta + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} - \frac{1}{\tan \theta}} \right)$（题眼）。设$\frac{1}{\tan \theta} = m$，则$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{m + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} - m} \right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} · \frac{1}{(m + 1)(\sqrt{3} - m)}$。因为$f(m) = (m + 1)(\sqrt{3} - m) = -(m - \frac{\sqrt{3} - 1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3} - 1}{2})^2 + \sqrt{3}$，所以当$m = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$时，$f(m)$取最大值，且最大值为正，即当$m = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$时，$S_{\triangle ABC}$取最小值，此时$\tan \theta = \frac{1}{m} = \frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \sqrt{3} + 1$，故D正确。
综上所述，故选BCD。
一题多解对于A，因为$\angle BCP = 45°$，$\angle BPC = \theta = 120°$，则$B = 15°$，所以$\sin B = \sin (45° - 30°) = \sin 45° \cos 30° - \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$（关键：将非特殊角转化为特殊角的差的关系），故A错误。
对于B，因为$\angle ACP = 30°$，$\angle BPC = \theta = 120°$，则$A = 90°$，所以$AP = \frac{1}{2} CP$，则在$\triangle BCP$中，由正弦定理得$\frac{BP}{\sin \angle BCP} = \frac{CP}{\sin \angle CBP}$，即$\frac{BP}{\sin 45°} = \frac{CP}{\sin 15°}$，所以$BP = \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = 2(\sqrt{3} - 1)$，所以$\lambda = \frac{AP}{PB} = \frac{\frac{1}{2}}{2(\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$，故B正确。
对于C，当$\lambda = 1$时，$AP = PB$，即$P$为$AB$中点，所以$S_{\triangle ACP} = S_{\triangle BCP}$，则$\frac{1}{2} AC × CP \sin \angle ACP = \frac{1}{2} BC × CP \sin \angle BCP$，即$AC · \sin 30° = BC · \sin 45°$，所以$AC = \frac{BC · \sin 45°}{\sin 30°} = \sqrt{2} BC$，故C正确。
对于D，记$a = BC$，$b = AC$，则由$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ACP} + S_{\triangle BCP}$，得$\frac{1}{2} ab \sin \angle ACB = \frac{1}{2} b \sin \angle ACP + \frac{1}{2} a \sin \angle BCP$，即$ab \sin 75° = b \sin 30° + a \sin 45°$。因为$\sin 75° = \sin (45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$，所以$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ab = b + \sqrt{2} a \geq 2 \sqrt{2ab}$，当且仅当$b = \sqrt{2} a = 2(\sqrt{3} - 1)$时，等号成立，所以$(ab)_{\min} = 8\sqrt{2} - 4\sqrt{6}$，此时，在$\triangle ACP$中，由正弦定理得$\frac{AC}{\sin (180° - \theta)} = \frac{CP}{\sin (\theta - 30°)}$，即$\frac{2(\sqrt{3} - 1)}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos 30° - \cos \theta \sin 30°} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta - \frac{1}{2} \cos \theta$，化简并整理得$(2 - \sqrt{3}) \sin \theta = (\sqrt{3} - 1) \cos \theta$，所以$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1$，故D正确。综上所述，故选BCD。
方法点拨非特殊角的三角函数值可以利用半角或二倍角公式化为特殊角求解：
(1)对于某些非特殊角，可以通过半角公式将其转化为特殊角，进而求得三角函数值。例如，利用正弦、余弦的半角公式，可以将一个角度分为一半，如果这一半的角度是特殊角，就可以直接求出三角函数值；
(2)类似地，二倍角公式可以将一个角度扩大为两倍，如果扩大后的角度是特殊角，同样可以直接求出三角函数值。

12. 已知$ \sin \left( \alpha + \frac { 5 \pi } { 6 } \right) = \frac { 1 } { 3 } $,则$ \cos \left( \alpha + \frac { \pi } { 3 } \right) = $$\frac{1}{3}$.

答案： 12.$\frac{1}{3}$ 基础考点诱导公式
[深度解析]$\cos \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left[ \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi}{2} \right] = \sin \left( \alpha + \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{1}{3}$。
解题关键用已知表示未知，寻找$\alpha + \frac{\pi}{3}$与$\alpha + \frac{5\pi}{6}$的关系（和为定值或差为定值）。

13. 在锐角三角形$ A B C $中,内角$ A $,$ B $,$ C $所对的边分别为$ a $,$ b $,$ c $,且$ ( a - b ) ( \sin A + \sin B ) = ( c - b ) \sin C $,则$ \cos 2 C - \sqrt { 3 } \cos C $的取值范围为[-$\frac{11}{8}$,-1).

答案： 13.$\left[ -\frac{11}{8}, -1 \right)$ 热门考点正弦定理与余弦定理的应用、二次函数的性质、二倍角公式
[深度解析]因为$(a - b)(\sin A + \sin B) = (c - b) \sin C$（提示：这里我们有两种处理方式：①边化角；②角化边，本题我们选择角化边，得出平方关系后用余弦定理），所以$(a - b)(a + b) = (c - b)c$，化简整理得$b^2 + c^2 - a^2 = bc$，则由余弦定理得$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2}$。因为$A \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，所以$A = \frac{\pi}{3}$，所以$B = \frac{2\pi}{3} - C$，因为$\triangle ABC$为锐角三角形，则$\begin{cases}0 ＜ C ＜ \frac{\pi}{2}\\0 ＜ \frac{2\pi}{3} - C ＜ \frac{\pi}{2}\end{cases}$，解得$\frac{\pi}{6} ＜ C ＜ \frac{\pi}{2}$（关键：利用三角形内角和得到$B$，$C$的关系，因为$\triangle ABC$为锐角三角形，每个角都是锐角，所以$C \in \left( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \right)$），所以$0 ＜ \cos C ＜ \frac{\sqrt{3}}{2}$。因为$\cos 2C - \sqrt{3} \cos C = 2 \cos^2 C - \sqrt{3} \cos C - 1$，所以令$t = \cos C \left(0 ＜ t ＜ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$f(t) = 2t^2 - \sqrt{3} t - 1 = 2 \left( t - \frac{\sqrt{3}}{4} \right)^2 - \frac{11}{8}$，其图象对称轴为直线$t = \frac{\sqrt{3}}{4}$，所以$f(t)_{\min} = f\left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = -\frac{11}{8}$。又$f(0) = -1$，$f\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1$，所以$f(t) \in \left[ -\frac{11}{8}, -1 \right)$，即$\cos 2C - \sqrt{3} \cos C$的取值范围是$\left[ -\frac{11}{8}, -1 \right)$。
易错警示解答本题的易错点为忽略三角形为锐角三角形这一前提条件，未根据这一条件求出角$C$的取值范围。

14. 我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇,记为$ \Omega $.例如:$ \Omega = \{ f _ { k } ( x ) | f _ { k } ( x ) = k x $,$ k $为参数$ \} $是一个函数簇.若函数簇$ \Omega $中的每一个函数都存在极小值点$ x _ { 0 } $,且当参数$ k $变化时,由所有的点$ ( x _ { 0 }, f _ { k } ( x _ { 0 } ) ) $构成一条曲线$ y = g ( x ) $,则称函数簇$ \Omega $存在包络函数$ g ( x ) $.已知函数簇$ \Omega = \left\{ f _ { k } ( x ) \left| f _ { k } ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } - \frac { 1 } { 2 } k x ^ { 2 } \right., k \right. $为参数$ \} $,若“$ k \in M $”是“$ \Omega $存在包络函数$ g ( x ) $”的充要条件,则$ M = $(-∞,0)U(e,+∞);函数$ g ( x ) $的表达式为.

答案：
14.$(-\infty, 0) \cup (e, +\infty)$ 重难考点新定义函数、利用导数研究函数的单调性、极值条件
思路导引求出导函数$f_k'(x)$图象法讨论$f_k'(x)$的零点函数$f_k(x)$的单调性函数$f_k(x)$的极小值点根据定义求得结果
[深度解析]由题意，得$f_k'(x) = e^x - kx$。令$f_k'(x) = 0$，得$e^x - kx = 0$，即$e^x = kx$（题眼）。
当$k ＜ 0$时（提示：由于$k$的范围对导函数零点的范围有影响，故需对$k$进行分类讨论），在同一个坐标系中作出函数$y = e^x$与$y = kx$的图象，如图①所示，函数$y = e^x$与$y = kx$的图象有一个交点，设其横坐标为$x_m$，当$x ＜ x_m$时，$f_k'(x) ＜ 0$，函数$f_k(x)$在$(-\infty, x_m)$上单调递减；当$x ＞ x_m$时，$f_k'(x) ＞ 0$，函数$f_k(x)$在$(x_m, +\infty)$上单调递增，所以函数$f_k(x) = e^x - \frac{1}{2} kx^2$在$x_m$处取到极小值（提示：如果函数在某点的导数为零，并且在该点两侧的导数符号发生变化，则该点为极值点），且$x_m ＜ 0$。
假设函数$y = e^x$在点$x = m$处的切线$y - e^m = e^m (x - m)$过原点，得$-e^m = e^m (-m)$，解得$m = 1$，即过原点的直线$y = ex$与曲线$y = e^x$相切，且切点为$(1, e)$。
所以当$0 \leq k \leq e$时，可知$f_k'(x) = e^x - kx \geq 0$且不恒为$0$，此时函数$f_k(x) = e^x - \frac{1}{2} kx^2$单调递增，无极小值点。
当$k ＞ e$时，函数$y = e^x$与$y = kx$的图象有两个交点，设其横坐标分别为$x_1$，$x_2$，如图②所示，当$x ＜ x_1$时，$f_k'(x) ＞ 0$，函数$f_k(x)$在$(-\infty, x_1)$上单调递增；当$x_1 ＜ x ＜ x_2$时，$f_k'(x) ＜ 0$，函数$f_k(x)$在$(x_1, x_2)$上单调递减；当$x ＞ x_2$时，$f_k'(x) ＞ 0$，函数$f_k(x)$在$(x_2, +\infty)$上单调递增，所以函数$f_k(x)$在$x_2$处取到极小值，且$x_2 ＞ 1$。
综上，$k \in (-\infty, 0) \cup (e, +\infty)$时，函数$f_k(x)$的每一个函数都存在极小值点$x_0$，且为充要条件，此时$f_k'(x_0) = e^{x_0} - kx_0 = 0$，即$e^{x_0} = kx_0$。由所有的点$(x_0, f_k(x_0))$构成的曲线$y = g(x)$满足$g(x_0) = f_k(x_0) = e^{x_0} - \frac{1}{2} kx_0^2$，代入$kx_0 = e^{x_0}$，可得$g(x_0) = e^{x_0} - \frac{1}{2} e^{x_0} x_0 = e^{x_0} \left(1 - \frac{x_0}{2}\right)$，且$x_0 ＜ 0$或$x_0 ＞ 1$，所以函数$g(x)$的表达式为$g(x) = e^x \left(1 - \frac{x}{2}\right)$，$x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$。

15. (13分)
某校被评为全国首批智能研修平台规模化应用抽查了100名学生的成绩(单位:分),将他们的成绩分成以下6组:$ [ 40, 50 ) $,$ [ 50, 60 ) $,$ [ 60, 70 ) $,…,$ [ 90, 100 ] $,统计结果如下面的频数分布表所示.

已知高一学生的这次竞赛成绩$ X $近似服从正态分布$ N ( \mu, \sigma ^ { 2 } ) $,其中$ \mu $近似取为样本平均数$ \overline { x } $的整数部分,$ \sigma $近似取为样本标准差$ s $的整数部分,并已求得$ \sigma = 14 $(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
(1)从高一年级随机抽取1名学生的竞赛成绩,试估计他的竞赛成绩在区间$ ( 56, 98 ] $内的概率(结果保留一位小数).
(2)现从高一年级随机选取$ n $名同学的竞赛成绩,根据(1)的结果,若他们的成绩均在$ ( 56, 98 ] $范围内的概率不低于1%,求$ n $的最大值($ n $为正整数).
参考数据:$ \lg 2 \approx 0.301 $.
若$ X \sim N ( \mu, \sigma ^ { 2 } ) $,则$ P ( \mu - \sigma ＜ X \leq \mu + \sigma ) \approx 0.6827 $,$ P ( \mu - 2 \sigma ＜ X \leq \mu + 2 \sigma ) \approx 0.9545 $.
领航培育校,中央电化教育馆在该校举办项目启动活动,并特设专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况,学校组织了高一学生参加AINK人工智能知识竞赛(满分100分),并从中随机

答案： 15.基础考点平均数的计算、正态分布的应用
解：
(1)第一步：由表格数据求平均数的估计值，得到$\mu$的值
由题意可知6个分组的中点值分别为45,55,65,75,85,95，则计算可得样本平均数的估计值$\bar{x} = \frac{45 × 10 + 55 × 15 + 65 × 20 + 75 × 30 + 85 × 15 + 95 × 10}{100} = 70.5$（小结：从频数分布表求平均数的核心方法是加权平均法，即计算每个区间的中点值（组中值），乘对应频数，求和后除以总频数），可得$\mu = 70$。……3分
第二步：根据正态分布的性质求结果
由$\sigma = 14$，则$\mu - \sigma = 70 - 14 = 56$，$\mu + 2\sigma = 70 + 2 × 14 = 98$，
因为$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，所以$P(56 ＜ X \leq 98) = P(\mu - \sigma ＜ X \leq \mu + 2\sigma) = \frac{P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) + P(\mu - \sigma ＜ X \leq \mu + \sigma)}{2} \approx \frac{0.6827 + 0.9545}{2} = 0.8186 \approx 0.8$。……7分
(2)建立不等式，由对数运算求$n$的最大值
由题意可得，$0.8^n \geq 0.01$，两边取常用对数可得$n \lg 0.8 \geq \lg 0.01 = -2$（关键：解决指数不等式的关键是将不等式转化为等价的对数不等式），
所以$n \leq \frac{-2}{\lg 0.8} = \frac{-2}{\lg \frac{8}{10}} = \frac{-2}{\lg 8 - \lg 10} = \frac{-2}{3 \lg 2 - 1} \approx \frac{-2}{3 × 0.301 - 1} = \frac{-2}{-0.097} \approx 20.6$，
因为$n$为正整数，所以$n$的最大值为$20$。……13分