《2025年名校课堂八年级数学上册鲁教版五四制山东专版》

5. 如图，在四边形ABCD中，$AB=CD$，点E在CD的延长线上，连接BE交AD于点F，BE平分$∠ABC$，$BC=EC$，作$FG⊥BA$的延长线于点G。
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若F为AD的中点，$EF=10$，$BC=\frac {25}{2}$，求GF的长。

答案： 5.解：
(1)证明：
∵BE平分∠ABC，BC=EC，
∴∠ABF=∠CBE，∠CBE=∠E.
∴∠ABF=∠E.
∴AB//CD.又
∵AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形.
(2)
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$AD=BC=\frac {25} {2}.$
∵F为AD的中点，
∴$AF=DF=\frac {25} {4}.$在△ABF和△DEF中，$ \begin{cases} ∠ABF=∠E, \\ ∠AFB=∠DFE, \\ AF=DF, \end{cases} $
∴△ABF≌△DEF(AAS).
∴BF=EF=10,AB=DE.
∵AB=CD，
∴$AB=CD=DE=\frac {1} {2}CE=\frac {1} {2}BC=\frac {25} {4}.$
∵FG⊥AB，
∴∠G=90°.
∴$GF^2=AF^2-AG^2=BF^2-BG^2.$即$(\frac {25} {4})^2-AG^2=10^2-(\frac {25} {4}+AG)^2，$解得$AG=\frac {7} {4}.$
∴$GF=\sqrt {(\frac {25} {4})^2-(\frac {7} {4})^2}=6.$

6. 如图，以BC为底边的等腰三角形ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且$EG// BC$，$DE// AC$，延长GE至点F，使得$BE=BF$。
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）当$∠C=45^{\circ }$，$BD=2$时，求D，F两点间的距离。

答案： 6.解：
(1)证明：
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C.
∵EG//BC，DE//AC，
∴四边形CDEG是平行四边形.
∴∠DEG=∠C.
∴∠ABC=∠DEG.
∵BE=BF，
∴∠F=∠BEF.
∵EG//BC，
∴∠BEF=∠ABC.
∴∠F=∠DEG.
∴BF//DE.
∴四边形BDEF是平行四边形.
(2)
∵四边形BDEF是平行四边形，BD=2，
∴EF=BD=2.
∵∠C=45°，
∴∠ABC=∠BDE=∠BFE=∠BEF=45°.
∴△BDE，△BEF是等腰直角三角形.
∵$BF^2+BE^2=EF^2=4，$
∴$BF=BE=\sqrt {2}.$作FM⊥DB于点M，连接DF.
∴△BFM是等腰直角三角形.
∴$FM^2+BM^2=FB^2=2.$
∴FM=BM=1.
∴DM=3.在Rt△DFM中，由勾股定理，得$DF=\sqrt {FM^2+DM^2}=\sqrt {1^2+3^2}=\sqrt {10}，$即D，F两点间的距离为$\sqrt {10}.$