《2025年名校课堂八年级数学上册鲁教版五四制山东专版》

【例】如图，如果$□ ABCD$的内角$\angle BAD$的平分线交$BC$于点$E$，且$AE = BE$。
(1)请直接写出$□ ABCD$各内角的度数；
(2)若$AB = 2$，$AD = 3$，求$□ ABCD$的面积。
【思路点拨】(1)根据平行四边形的性质及角平分线求出各角的度数；(2)平行四边形的面积等于底$×$高，底边长题干中已经告知，故要求平行四边形的面积需要求出平行四边形关于底边$BC$上的高。
【解答】

答案：
(1)$\angle B = \angle D = 60^{\circ}, \angle C = \angle BAD = 120^{\circ}$.
(2)作 AH \perp BE 于点 H.由
(1)可知,$\triangle ABE$是等边三角形,$\therefore \angle BAH = 30^{\circ},BH = \frac{1}{2}BE = \frac{1}{2}AB = 1$.$\therefore$在Rt$\triangle ABH$中,$AH = \sqrt{AB^{2} - BH^{2}} = \sqrt{3}$.$\therefore S_{□ ABCD} = AD \cdot AH = 3\sqrt{3}$.

【跟踪训练】如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 4\mathrm{cm}$，$BC = 5\mathrm{cm}$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，过点$A$的直线$a// BC$，$D$是直线$a$上的一个动点，则$\triangle DBC$的面积为5 cm²。

答案： 5 cm²

1. 如图，直线$a// b$，且$a$，$b$之间相距$4\mathrm{cm}$，点$P$是直线$a$上一定点，点$Q$在直线$b$上运动，则在点$Q$的运动过程中，线段$PQ$的最小值是4 cm。

答案： 1. 4 cm

2. (教材P126“想一想”变式)如图，直线$l_1// l_2$，$\triangle ABC$的面积为$10$，则$\triangle DBC$的面积(C)

A.大于$10$
B.小于$10$
C.等于$10$
D.不确定

答案： 2. C

3. 如图，在$□ ABCD$中，$AE\perp BC$于点$E$，$AF\perp CD$于点$F$。若$AE = 4$，$AF = 6$，$□ ABCD$的周长为$40$，则$□ ABCD$的面积为48。

答案： 3. 48

4. 在同一平面内，设$a$，$b$，$c$是三条互相平行的直线，已知$a$与$b$的距离为$4\mathrm{cm}$，$b$与$c$的距离为$1\mathrm{cm}$，则$a$与$c$的距离为5 cm 或 3 cm。

答案： 4. 5 cm 或 3 cm

5. 如图，$P$是面积为$S$的$□ ABCD$内任意一点，$\triangle PAD$的面积为$S_1$，$\triangle PBC$的面积为$S_2$，则(C)

A.$S_1 + S_2＞\frac{S}{2}$
B.$S_1 + S_2＜\frac{S}{2}$
C.$S_1 + S_2=\frac{S}{2}$
D.$S_1 + S_2$的大小与$P$点位置有关

答案： 5. C

6. 如图，已知点$A(-4,2)$，$B(-1,-2)$，$□ ABCD$的对角线交于坐标原点$O$。
(1)请直接写出点$C$，$D$的坐标；
(2)写出从线段$AB$到线段$CD$的变换过程；
(3)直接写出$□ ABCD$的面积。

答案： 6. 解:
(1)C(4, -2),D(1,2).
(2)线段 AB 到线段 CD 的变换过程是:绕点 O 旋转$ 180^{\circ}.(3)S_{□ ABCD} = 20.$