《2025年名校课堂八年级数学上册人教版陕西专版》

(2024·安康旬阳市期末)问题提出:
(1)已知在等边三角形 $ABC$ 中,点 $E$ 在 $AB$ 上,点 $D$ 在 $CB$ 的延长线上,且 $ED = EC$.
①如图 1,当 $E$ 为 $AB$ 的中点时,$AE$=$DB$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
②如图 2,当 $E$ 为边 $AB$ 上任意一点时,请判断 $AE$ 与 $DB$ 之间的数量关系,并给予证明.
问题解决:
(2)如图 3,现有一块不规则图形的钢材,它是由一块等边三角形 $ABC$ 和一块等腰三角形 $EDC$ 焊接而成的(焊接过程不考虑变形),设计要求等腰三角形 $EDC$ 的顶点 $E$ 刚好在线段 $AB$ 的延长线上.若 $AB = 2\mathrm{m},AE = 3\mathrm{m}$,求 $CD$ 的长.

答案：
(1)① = ②AE=DB. 证明：过点E作EF//BC，交AC于点F.
∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形.
∴AE=EF，BE=CF.
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD.
∵∠DEB=60°-∠D，∠ECF=60°-∠ECD，
∴∠DEB=∠ECF.在△DBE和△EFC中，$\begin{cases}BE=FC,\\∠DEB=∠ECF,\\DE=EC,\end{cases}$
∴△DBE≌△EFC(SAS).
∴DB=EF.
∴AE=DB.
(2)过点E作EF//AC，交CD于点F，则△EFB为等边三角形.同理可得△DBE≌△CFE，
∵AB=2m，AE=3m，
∴BC=AB=2m，BE=AE-AB=1m.
∴FB=BE=1m.
∵DB=FC=FB+BC=3m，
∴CD=BC+DB=5m.