《2025年单元学习指导与练习九年级数学上册浙教版》

3. 如图所示,P是△ABC的边AC上一点,连结BP.下列条件中,不能判定△ABP∽△ACB的是(B).

A.$\frac{AB}{AP}= \frac{AC}{AB}$
B.$\frac{AC}{AB}= \frac{BC}{BP}$
C.∠ABP= ∠C
D.∠APB= ∠ABC

答案： 【解析】：本题可根据相似三角形的判定定理，逐一分析每个选项是否能判定$\triangle ABP\sim\triangle ACB$。
相似三角形有以下判定定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
两角分别相等的两个三角形相似。
选项A：$\frac{AB}{AP}=\frac{AC}{AB}$
此时$\frac{AB}{AP}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{AP}{AB}$，且$\angle A$是$\triangle ABP$与$\triangle ACB$的公共角，也就是$\angle A = \angle A$。
根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可以判定$\triangle ABP\sim\triangle ACB$，所以该选项不符合题意。
选项B：$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{BP}$
在$\triangle ABP$与$\triangle ACB$中，虽然$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{BP}$，但相等的角不是成比例两边的夹角，不满足相似三角形的判定定理，所以不能判定$\triangle ABP\sim\triangle ACB$，该选项符合题意。
选项C：$\angle ABP = \angle C$
因为$\angle ABP = \angle C$，且$\angle A$是$\triangle ABP$与$\triangle ACB$的公共角，即$\angle A = \angle A$。
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可以判定$\triangle ABP\sim\triangle ACB$，所以该选项不符合题意。
选项D：$\angle APB = \angle ABC$
由于$\angle APB = \angle ABC$，同时$\angle A$是$\triangle ABP$与$\triangle ACB$的公共角，即$\angle A = \angle A$。
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可以判定$\triangle ABP\sim\triangle ACB$，所以该选项不符合题意。
【答案】：B

4. 如图所示,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,若△ADE的面积是$3cm^2,$则四边形BDEC的面积为(B).



$A.12cm^2$

$B.9cm^2$

$C.6cm^2$

$D.3cm^2$

答案： 解：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}$=($\frac{1}{2}$)²=$\frac{1}{4}$，
∵△ADE的面积是3cm²，
∴$\frac{3}{S_{\triangle ABC}}$=$\frac{1}{4}$，
解得S_△ABC=12cm²，
∴四边形BDEC的面积=S_△ABC-S_△ADE=12-3=9cm²．
答案：B

5. 如图所示,树AB在路灯O的照射下形成投影AC,已知路灯高PO= 5m,树影AC= 3m,树AB与路灯O的水平距离AP= 4.5m,则树的高度AB是(A).

A.2m
B.3m
C.$\frac{3}{2}$m
D.$\frac{10}{3}$m

答案： 解：由题意得，PO⊥PC，AB⊥PC，
∴∠OPC=∠BAC=90°，
又
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△OPC，
∴$\frac{AB}{PO}=\frac{AC}{PC}$，
∵AC=3m，AP=4.5m，
∴PC=AP+AC=4.5+3=7.5m，
∵PO=5m，
∴$\frac{AB}{5}=\frac{3}{7.5}$，
解得AB=2m。
答案：A.2m

6. 如图所示,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是BC的中点,DE交AC于点F,若DE= 12,则DF等于( D).
A.3
B.4
C.6
D.8

答案： 【解析】：本题可先根据正方形的性质得到相关线段和角的关系，再利用相似三角形的判定和性质来求解$DF$的长度。
步骤一：分析正方形的性质
在正方形$ABCD$中，$AD// BC$，$AD = BC$，对角线$AC$与$BD$互相垂直且平分，即$OB = OD$，$OA = OC$，$\angle AOD = 90^{\circ}$，$\angle ACB = \angle CAD = 45^{\circ}$。
步骤二：证明三角形相似
因为$AD// BC$，所以$\triangle ADF\sim\triangle CEF$（两角分别相等的两个三角形相似，$\angle DAF = \angle ECF$，$\angle ADF = \angle CEF$）。
根据相似三角形的性质可知，相似三角形对应边成比例，即$\frac{AD}{CE}=\frac{DF}{EF}$。
步骤三：求出$AD$与$CE$的关系
已知$E$是$BC$的中点，所以$CE=\frac{1}{2}BC$，又因为$AD = BC$，所以$AD = 2CE$。
步骤四：根据相似比求出$DF$与$DE$的关系
由$\frac{AD}{CE}=\frac{DF}{EF}$且$AD = 2CE$，可得$\frac{DF}{EF}=\frac{AD}{CE}=2$，即$DF = 2EF$。
步骤五：结合$DE$的长度求出$DF$的长度
因为$DE = DF + EF$，且$DF = 2EF$，所以$DE = 2EF + EF = 3EF$。
已知$DE = 12$，则$3EF = 12$，解得$EF = 4$，那么$DF = 2EF = 2×4 = 8$。
【答案】：D

7. 如图甲所示,长、宽均为3,高为8的长方形容器放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高度为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图乙是此时的平面示意图,则图乙中的水面高度为(A).
A.$\frac{24}{5}$
B.$\frac{32}{5}$
C.$\frac{12\sqrt{34}}{17}$
D.$\frac{20\sqrt{34}}{17}$

答案： A