《2025年单元学习指导与练习九年级数学上册浙教版》

例2 某商店购进一批成本价为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图1-3所示.

(1)求该商品每天的销售量y(件)关于销售单价x(元)的函数表达式.
(2)若将该商品按不低于成本价且不高于50元的单价销售,则商店将销售单价定为多少时,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则该商品每天的销售量最少应为多少件？
【思路点拨】(1)利用待定系数法求一次函数的表达式.
(2)根据利润＝单件利润×件数,列出函数表达式,求出最值及相应的自变量x的值.
(3)根据二次函数的图象的性质,求出x的取值范围.

答案：
(1)设该商品每天的销售量$y$关于销售单价$x$的函数表达式为$y = kx + b$。
由图象可知，函数图象过点$(30,100)$和$(45,70)$，代入可得：
$\begin{cases}100 = 30k + b \\70 = 45k + b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\b = 160\end{cases}$
所以函数表达式为$y=-2x + 160$。
(2)由题意，利润$w=(x - 30)y=(x - 30)(-2x + 160)$
展开得$w=-2x^{2}+220x - 4800$
配方得$w=-2(x - 55)^{2}+1250$
因为$-2\lt0$，抛物线开口向下，对称轴为$x = 55$。
又因为$30\leq x\leq50$，在对称轴左侧，$w$随$x$的增大而增大，
所以当$x = 50$时，$w$有最大值，$w=-2×(50 - 55)^{2}+1250=1200$
即销售单价定为$50$元时，每天获得的利润最大，最大利润是$1200$元。
(3)由题意得$(x - 30)(-2x + 160)\geq800$
即$-2x^{2}+220x - 4800\geq800$
化简得$x^{2}-110x + 2800\leq0$
解方程$x^{2}-110x + 2800 = 0$，得$x_{1}=40$，$x_{2}=70$
所以不等式的解集为$40\leq x\leq70$
因为$y=-2x + 160$，$k=-2\lt0$，$y$随$x$的增大而减小，
当$x = 70$时，$y$最小，$y=-2×70 + 160=20$
所以每天的销售量最少应为$20$件。

 【变式】某体育用品店购进一批单价为40元的球服,如果按单价60元销售,那么一个月内可售出240套.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套.设销售单价为x元($60 ＜ x\leq75$),销售量为y套.
(1)求出y关于x的函数表达式.
(2)当销售单价为多少元时,月销售额为14000元？
(3)当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？

答案： $(1)$求$y$关于$x$的函数表达式
解：已知销售单价每提高$5$元，销售量相应减少$20$套。
销售单价从$60$元提高到$x$元，提高了$(x - 60)$元，则提高的次数为$\frac{x - 60}{5}$次。
因为每次提高$5$元，销售量减少$20$套，所以减少的销售量为$20×\frac{x - 60}{5}$套。
又因为按单价$60$元销售时，一个月内可售出$240$套，所以$y = 240 - 20×\frac{x - 60}{5}$，化简可得：
$\begin{aligned}y&=240 - 4(x - 60)\\&=240 - 4x + 240\\&=- 4x + 480(60\lt x\leq75)\end{aligned}$
$(2)$求月销售额为$14000$元时的销售单价
解：月销售额$=$销售单价$×$销售量，即$x\cdot y = 14000$，把$y = - 4x + 480$代入可得：
$x(-4x + 480)=14000$
$-4x^{2}+480x - 14000 = 0$
两边同时除以$-4$得：$x^{2}-120x + 3500 = 0$
分解因式得$(x - 50)(x - 70)=0$
解得$x_{1}=50$，$x_{2}=70$。
因为$60\lt x\leq75$，所以$x = 70$。
$(3)$求最大利润及此时的销售单价
解：设月利润为$W$元，利润$=$（销售单价$-$进价）$×$销售量，则$W=(x - 40)(-4x + 480)$
$\begin{aligned}W&=(x - 40)(-4x + 480)\\&=-4x^{2}+480x + 160x - 19200\\&=-4x^{2}+640x - 19200\\&=-4(x^{2}-160x + 4800)\\&=-4(x - 80)^{2}+6400\end{aligned}$
因为二次项系数$-4\lt0$，所以抛物线开口向下，在对称轴$x = 80$处取得最大值，但$60\lt x\leq75$。
在$60\lt x\leq75$这个区间内，$W$随$x$的增大而增大，所以当$x = 75$时，$W$有最大值。
$W=-4×(75 - 80)^{2}+6400=-4×(-5)^{2}+6400=-100 + 6400 = 6300$（元）。
综上，答案依次为：$(1)$$y = - 4x + 480(60\lt x\leq75)$；$(2)$$70$元；$(3)$销售单价为$75$元时，最大利润是$6300$元。