《2025年单元学习指导与练习九年级数学上册浙教版》

例3 如图1-4所示,经过点A(0,-6)的抛物线$y= \frac{1}{2}x^2 + bx + c$与x轴相交于B(-2,0),C两点.

(1)求此抛物线的函数表达式和顶点D的坐标.
(2)将第(1)题中求得的抛物线向左平移1个单位长度,再向上平移m($m＞0$)个单位长度得到新抛物线$y_1$.若新抛物线$y_1$的顶点P在△ABC内,求m的取值范围.
【思路点拨】(1)将已知点的坐标代入已知的函数表达式,即可利用待定系数法确定二次函数的表达式.
(2)先根据平移方式确定函数表达式,再确定点P的坐标,然后求得点C的坐标,从而利用待定系数法确定直线AC的函数表达式,最后确定m的取值范围.

答案：
(1)将点A(0,-6)，B(-2,0)代入抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 + bx + c$，得
$\begin{cases}-6 = c \\0 = \frac{1}{2}×(-2)^2 + b×(-2) + c\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = -2 \\c = -6\end{cases}$
所以抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2 - 2x - 6$。
对于二次函数$y=ax^2 + bx + c$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})$，这里$a = \frac{1}{2}$，$b = -2$，$c = -6$，
$-\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2×\frac{1}{2}} = 2$，
$\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4×\frac{1}{2}×(-6) - (-2)^2}{4×\frac{1}{2}} = \frac{-12 - 4}{2} = -8$，
所以顶点D的坐标为(2,-8)。
(2)原抛物线顶点为(2,-8)，向左平移1个单位长度，横坐标变为$2 - 1 = 1$，再向上平移m个单位长度，纵坐标变为$-8 + m$，所以新抛物线$y_1$的顶点P的坐标为(1, -8 + m)。
在抛物线$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x - 6$中，令$y = 0$，则$\frac{1}{2}x^2 - 2x - 6 = 0$，
$x^2 - 4x - 12 = 0$，
$(x - 6)(x + 2) = 0$，
解得$x = 6$或$x = -2$，所以点C的坐标为(6,0)。
设直线AC的函数表达式为$y = kx + d$，将A(0,-6)，C(6,0)代入，
$\begin{cases}-6 = d \\0 = 6k + d\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 1 \\d = -6\end{cases}$，所以直线AC的函数表达式为$y = x - 6$。
因为点P在△ABC内，点P的横坐标为1，当$x = 1$时，直线AC上的点的纵坐标为$y = 1 - 6 = -5$，
又因为点P在△ABC内，所以点P的纵坐标大于直线AC上x=1时的纵坐标，且小于0（因为△ABC在x轴下方的部分在直线AC下方，顶点P不能在x轴及上方），
即$-5 ＜ -8 + m ＜ 0$，
解得$3 ＜ m ＜ 8$。
综上，
(1)抛物线函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2 - 2x - 6$，顶点D坐标为(2,-8)；
(2)m的取值范围是$3 ＜ m ＜ 8$。