《2025年暑假天地中国少年儿童出版社八年级二中》

1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(D)

答案： D

2. 如果一个多边形的内角和是外角和的5倍,那么这个多边形的边数是(D)
A.9
B.10
C.11
D.12

答案： D

3. (C)顺次连接矩形各边中点所得的四边形一定是
A.等腰梯形
B.正方形
C.平行四边形
D.矩形

答案： C

4. 对于实数$a,b$定义一种运算:$a\otimes b= \frac{a + b}{1 - ab}$.则当$2\otimes x= -1$时,$x$等于(C)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C

5. 如图,在平行四边形$ABCD$中,若$∠B = 60^{\circ}$,则$∠D= $60°.

答案： 60°

6. 如图,$D,E,F分别是\triangle ABC的AB,BC,CA$边的中点.若$\triangle ABC$的周长为20,则$\triangle DEF$的周长为______10.

答案： 10

7. 某地居民用电的标准为每度电0.47元,则电费$y$(元),与用电度数$x$(度)之间的函数表达式为$y = 0.47x$;当用电30度时,应交电费14.1元.

答案： $y = 0.47x$;14.1

8. 如图,以$\triangle ABC$的三边为边,在BC的同侧作三个等边$\triangle ABD、$$\triangle BEC、$$\triangle ACF.(1)$判断四边形ADEF的形状,并证明你的结论;四边形ADEF的形状是平行四边形(2)当$\triangle ABC$满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?是矩形?当$\triangle ABC$满足AB = AC时,四边形ADEF是菱形;当$\triangle ABC$满足$\angle BAC = 90^\circ$时,四边形ADEF是矩形.

答案： 【解析】：
(1)四边形$ADEF$是平行四边形。证明如下：
因为$\triangle ABD$、$\triangle BEC$是等边三角形，所以$BD = BA$，$BE = BC$，$\angle DBA = \angle EBC = 60^\circ$。
则$\angle DBA - \angle EBA = \angle EBC - \angle EBA$，即$\angle DBE = \angle ABC$。
在$\triangle DBE$和$\triangle ABC$中，$\begin{cases} BD = BA \\ \angle DBE = \angle ABC \\ BE = BC \end{cases}$，所以$\triangle DBE \cong \triangle ABC(SAS)$，故$DE = AC$。
又因为$\triangle ACF$是等边三角形，所以$AC = AF$，因此$DE = AF$。
同理，可证$\triangle ECF \cong \triangle BCA(SAS)$，得$EF = AB$，而$\triangle ABD$是等边三角形，$AB = AD$，所以$EF = AD$。
因为$DE = AF$且$EF = AD$，所以四边形$ADEF$是平行四边形。
(2)若四边形$ADEF$是菱形，则需邻边相等，即$AD = AF$。
因为$AD = AB$，$AF = AC$，所以$AB = AC$，即$\triangle ABC$是等腰三角形（$AB = AC$）。
若四边形$ADEF$是矩形，则需有一个内角为$90^\circ$。
在平行四边形$ADEF$中，$\angle DAF = 180^\circ - \angle ADE$，而$\angle ADE = \angle BAC$（由全等三角形对应角及平行线性质可得），所以$\angle DAF = 180^\circ - \angle BAC$。
当$\angle DAF = 90^\circ$时，$180^\circ - \angle BAC = 90^\circ$，即$\angle BAC = 90^\circ$，所以$\triangle ABC$中$\angle BAC = 90^\circ$。
【答案】：
(1)平行四边形；
(2)当$AB = AC$时是菱形；当$\angle BAC = 90^\circ$时是矩形。