《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版提优版》

19. (8分)如图,已知DE//AB,∠DAE= ∠B,DE= 2,AE= 4,C为AE的中点.求证:△ABC≌△EAD.

答案： 证明:因为C为AE的中点,AE=4,DE=2,所以AC=$\frac{1}{2}$AE=2=DE.因为DE//AB,所以∠BAC=∠E.在△ABC和△EAD中,∠B=∠DAE,∠BAC=∠E,AC=ED,所以△ABC≌△EAD.

20. (8分)(2024扬州市广陵区期中)已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC= ∠ADC= 90°,E是边AC的中点.
(1) 求证:△BED是等腰三角形.
(2) 当∠BCD= 150°时,△BED是等边三角形.

（1）证明:因为∠ABC=∠ADC=90°,E是边AC的中点,所以BE=$\frac{1}{2}$AC,DE=$\frac{1}{2}$AC,所以BE=DE,所以△BED是等腰三角形.

答案： （1）证明:因为∠ABC=∠ADC=90°,E是边AC的中点,所以BE=$\frac{1}{2}$AC,DE=$\frac{1}{2}$AC,所以BE=DE,所以△BED是等腰三角形.
（2）150 提示:因为∠ABC=∠ADC=90°,E是边AC的中点,所以DE=AE=EB,所以∠DAE=∠EDA,∠EAB=∠EBA.因为∠DAE+∠EDA=∠DEC,∠EAB+∠EBA=∠BEC,所以∠DAB=$\frac{1}{2}$∠DEB.因为△BED是等边三角形,所以∠DEB=60°,所以∠BAD=30°,所以∠BCD=360° - 90° - 90° - 30°=150°.

21. (9分)如图1,△ABC≌△DCB,且∠ACB= ∠DBC= 90°,BC= 6.如图2,将△DBC沿射线BC方向平移得到$△D_1B_1C_1,$连接$AC_1,BD_1.$
(1) 求证$:BD_1= AC_1$且$BD_1//AC_1.$
(2) △DBC沿射线BC方向平移的距离为6时,点A与点$D_1$之间的距离最小.


（1）证明:因为△ABC≌△DCB,所以AC=DB.由平移的性质可知,D₁B₁=DB=AC,∠D₁B₁C₁=∠DBC=90°=∠ACB,B₁B=CC₁,所以△BB₁D₁≌△C₁CA（SAS）,所以∠AC₁C=∠D₁BB₁,BD₁=AC₁,所以BD₁//AC₁.

答案： （1）证明:因为△ABC≌△DCB,所以AC=DB.由平移的性质可知,D₁B₁=DB=AC,∠D₁B₁C₁=∠DBC=90°=∠ACB,B₁B=CC₁,所以△BB₁D₁≌△C₁CA（SAS）,所以∠AC₁C=∠D₁BB₁,BD₁=AC₁,所以BD₁//AC₁.
（2）6 提示:当点C与点B重合,点A与点D₁之间的距离最小,所以△DBC沿射线BC方向平移的距离为BC=6.

22. (9分)如图,A,B两点分别在射线OM,ON上,点C在∠MON的内部,且AC= BC,CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD= BE.
(1) 求证:OC平分∠MON.
(2) 若AD= 3,BO= 4,求AO的长.

答案： （1）证明:因为CD⊥OM,CE⊥ON,所以∠ADC=∠BEC=90°.因为AC=BC,AD=BE,所以Rt△ADC≌Rt△BEC,所以CD=CE.所以OC平分∠MON.
（2）解:因为CD=CE,OC=OC,所以Rt△ODC≌Rt△OEC,所以OD=OE.因为AD=BE,所以OD=OE=BO+BE=BO+AD=4+3=7,所以AO=OD+AD=7+3=10.