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8. 如图,在△ABC中,AB= 4,BC= 5,AC= 6,D,E分别是线段AB和线段BC上的动点,且BD= DE,F是线段AC上一点,且EF= FC,则DF的最小值为 (
A.3
B.2.5
C.2
D.4
B
)A.3
B.2.5
C.2
D.4
答案：
B 提示:过点D作DG⊥BC于点G,过点F作FH⊥BC于点H,过点D作DM⊥FH于点M.因为BD=DE,DG⊥BC,所以BG=GE.同理可得EH=HC.所以GH=GE+EH=$\frac{1}{2}$BC=2.5.因为DM⊥FH,DG⊥BC,所以DG//FH,DM//BC.由“平行线间的距离处处相等”可知DM=GH=2.5.因为DF≥DM,所以DF的最小值为2.5.
9. 若等腰三角形的两条边长为3和6,则三角形的周长为
15
.
答案：
15
10. 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D.若要直接根据“HL”判定△ABD≌△ACD,则还需要添加的一个条件是
AB=AC
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答案：
AB=AC
11. 如图,已知AC与BF相交于点E,AB//CF,E为BF的中点,点D在AB上.若CF= 6,AD= 4,则BD=
2
.
答案：
2
12. 在等腰三角形ABC中,AB= AC,一边上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和12两个部分,则该等腰三角形的底边长为
7或11
.
答案：
7或11 提示:分两种情况讨论:当AB+$\frac{1}{2}$AC=AC+$\frac{1}{2}$AC=15时,解得AC=10,所以底边BC=12 - $\frac{1}{2}$×10=7;当AB+$\frac{1}{2}$AC=AC+$\frac{1}{2}$AC=12时,解得AC=8,所以底边BC=15 - $\frac{1}{2}$×8=11.
13. 如图,点P在△ABC的内部,且PB= 3,M,N分别为点P关于直线AB,BC的对称点.若MN= 6,则∠ABC=
90°
.
答案：
90°
14. 在△ABC和△A'B'C'中,AB= A'B',AC= A'C',高AD= A'D',则∠C和∠C'的关系是
相等或互补
.
答案：
相等或互补 提示:当高AD与A'D'同在三角形的内部或同在三角形的外部时,∠C和∠C'相等;当高AD与A'D'一个在三角形的内部,另一个在三角形的外部时,∠C和∠C'互补.
15. 如图,在△ABC中,AB= BC,∠ABC= 60°,直线l经过△ABC的顶点B,在直线l上取点D,E,使∠ADB= ∠CEB= 120°.若AD= 2 cm,CE= 5 cm,则DE=
3
cm.
答案：
3 提示:因为∠ABC=60°,所以∠ABD+∠CBE=60°.因为∠ADB=∠CEB=120°,所以∠ABD+∠BAD=60°.所以∠BAD=∠CBE,所以△ABD≌△BCE.所以BD=CE=5cm,BE=AD=2cm,所以DE=BD - BE=3cm.
16. 如图,在锐角三角形ABC中,∠DBC= 16°,DE和DF分别垂直平分AB,AC,则∠BAC= ____
74°
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答案：
74° 提示:连接AD,CD.因为DE和DF分别垂直平分AB,AC,所以BD=AD=CD,所以∠DBA=∠DAB,∠DAC=∠DCA,∠DBC=∠DCB=16°,所以∠BAC=∠DAB+∠DAC=∠DBA+∠DCA.因为三角形的内角和为180°,所以2∠BAC+2∠DBC=180°,即2∠BAC+32°=180°,所以∠BAC=74°.
17. 如图,∠MAB为锐角,AB= a,点B到射线AM的距离为d,点C在射线AM上,且BC= x.若△ABC的形状、大小是唯一确定的,则x的取值范围是____.
答案：
x=d或x≥a 提示:如图1,过点B作BD⊥AM于点D.由题意可知,BD=d.当点C和点D重合,即x=d时,△ABC是一个直角三角形,唯一确定;当d＜x＜a时,点C的位置有两个,即△ABC不能唯一确定;如图2,当x≥a时,△ABC只有一个,唯一确定.
x=d或x≥a 提示:如图1,过点B作BD⊥AM于点D.由题意可知,BD=d.当点C和点D重合,即x=d时,△ABC是一个直角三角形,唯一确定;当d＜x＜a时,点C的位置有两个,即△ABC不能唯一确定;如图2,当x≥a时,△ABC只有一个,唯一确定.
18. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,D,E分别为AB,AC上一点,将△BCD,△ADE分别沿CD,DE所在的直线翻折,点A,B恰好重合于点P.若△PCD中有一个角等于50°,则∠A的度数为
40°或25°
.
答案：
40°或25° 提示:根据折叠的性质,得AD=PD=BD,∠CPD=∠B,∠PDC=∠BDC,∠PCD=∠DCB,所以D是AB的中点.因为∠ACB=90°,所以CD=AD=BD.所以∠ACD=∠A,∠DCB=∠B.当∠CPD=50°时,∠B=50°,所以∠A=90° - ∠B=40°;当∠PCD=50°时,∠B=∠DCB=50°,所以∠A=40°;当∠PDC=50°时,∠BDC=50°,又因为∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A,所以∠A=$\frac{1}{2}$∠BDC=25°.
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