《2025年假期伴你行暑假合肥工业大学出版社八年级数学沪科版》

19. (6分)计算：
(1)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12}-\sqrt{24}$；
(2)$(\sqrt{3}-2 \sqrt{12}-\sqrt{6}) × 2 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}$；
(3)$9 \sqrt{3}+7 \sqrt{12}-5 \sqrt{48}+3 \sqrt{\frac{1}{3}}$；
(4)$6 \sqrt{48} ÷ \sqrt{27}+(1-\sqrt{2})^{2}-\sqrt{2} × \sqrt{18}$.

答案： 解：
(1) 原式 $ = 4 + \sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 4 - \sqrt{6} $.
(2) 原式 $ = (\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - \sqrt{6}) × 2\sqrt{3} + 5\sqrt{2} = (-3\sqrt{3} - \sqrt{6}) × 2\sqrt{3} + 5\sqrt{2} = -3\sqrt{3} × 2\sqrt{3} - \sqrt{6} × 2\sqrt{3} + 5\sqrt{2} = -18 - 6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = -18 - \sqrt{2} $.
(3) 原式 $ = 9\sqrt{3} + 14\sqrt{3} - 20\sqrt{3} + \sqrt{3} = 4\sqrt{3} $.
(4) 原式 $ = 24\sqrt{3} ÷ 3\sqrt{3} + 1 - 2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} × 3\sqrt{2} = 8 + 1 - 2\sqrt{2} + 2 - 6 = 5 - 2\sqrt{2} $.

20. (4分)已知实数$a$,$b$,$c$在数轴上的位置如图所示,化简$|a|-\sqrt{(a+c)^{2}}+\sqrt{(c-a)^{2}}-\sqrt{b^{2}}$.

解：由数轴可知 $ c ＜ a ＜ 0 $, $ b ＞ 0 $, $ \therefore a + c ＜ 0 $, $ c - a ＜ 0 $. $ \therefore $ 原式 $ = -a + (a + c) - (c - a) - b = $$a - b$.

答案： 解：由数轴可知 $ c ＜ a ＜ 0 $, $ b ＞ 0 $, $ \therefore a + c ＜ 0 $, $ c - a ＜ 0 $. $ \therefore $ 原式 $ = -a + (a + c) - (c - a) - b = a - b $.

21. (4分)先化简,再求值：$(m+\sqrt{2})(m-\sqrt{2})-m(m-3)$,其中$m= \sqrt{3}+1$.

答案： 解：原式 $ = m^2 - 2 - m^2 + 3m = 3m - 2 $. 当 $ m = \sqrt{3} + 1 $ 时，原式 $ = 3(\sqrt{3} + 1) - 2 = 3\sqrt{3} + 1 $.

22. (4分)若$a$,$b$为有理数,且$\sqrt{8}+\sqrt{18}+\sqrt{\frac{1}{8}}= a+b \sqrt{2}$,求代数式$a b$的值.

答案： 解：$ \because \sqrt{8} + \sqrt{18} + \sqrt{\frac{1}{8}} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{21}{4}\sqrt{2} = a + b\sqrt{2} $，且 $ a $, $ b $ 为有理数，$ \therefore a = 0 $, $ b = \frac{21}{4} $, $ \therefore ab = 0 × \frac{21}{4} = 0 $.

23. (9分)已知$a= 3+\sqrt{7}$,$b= 3-\sqrt{7}$,求下列各式的值：
(1)$a^{2} b+a b^{2}$=12；
(2)$a^{2}-b^{2}$=$12\sqrt{7}$；
(3)$a^{2}-a b+b^{2}$=30.

答案： 解：$ \because a = 3 + \sqrt{7} $, $ b = 3 - \sqrt{7} $, $ \therefore a + b = 6 $, $ a - b = 2\sqrt{7} $, $ ab = 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 2 $.
(1) $ a^2b + ab^2 = ab(a + b) = 2 × 6 = 12 $.
(2) $ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = 6 × 2\sqrt{7} = 12\sqrt{7} $.
(3) $ a^2 - ab + b^2 = (a + b)^2 - 3ab = 6^2 - 3 × 2 = 30 $.