《2025年新课程暑假作业本八年级综合A版山西教育出版社》

4. 学习了乘法公式$(a ± b)^{2}=a^{2}±2ab + b^{2}$后,老师向同学们提出了如下问题:
①将多项式$x^{2}+4x + 3$因式分解;
②求多项式$x^{2}+4x + 3$的最小值.
①$x^{2}+4x + 3$
$=x^{2}+4x + 4 - 1$
$=(x + 2)^{2}-1$
$=(x + 2 + 1)(x + 2 - 1)$
$=(x + 3)(x + 1)$.
②由①知$x^{2}+4x + 3=(x + 2)^{2}-1$,
因为$(x + 2)^{2}≥0$,
所以$(x + 2)^{2}-1≥-1$.
所以当$x = - 2$时,$x^{2}+4x + 3$的值最小,最小值为$-1$.
请你运用上述方法解决下列问题:
(1)将多项式$x^{2}+8x - 20$因式分解;$x^{2} + 8x - 20$$= x^{2} + 8x + 16 - 36$$= (x + 4)^{2} - 36$$= (x + 4 + 6)(x + 4 - 6)$$= (x + 10)(x - 2)$
(2)求多项式$-x^{2}+8x - 20$的最大值.由题意，得$-x^{2} + 8x - 20$$= - (x^{2} - 8x + 20)$$= - (x^{2} - 8x + 16 - 16 + 20)$$= - (x - 4)^{2} - 4$.$\because (x - 4)^{2} \geq 0$，$\therefore - (x - 4)^{2} \leq 0$.$\therefore - (x - 4)^{2} - 4 \leq - 4$.$\therefore$ 当$x = 4$时，$-x^{2} + 8x - 20$的值最大，最大值为$-4$

答案： 4.
(1) $x^{2} + 8x - 20$
$= x^{2} + 8x + 16 - 36$
$= (x + 4)^{2} - 36$
$= (x + 4 + 6)(x + 4 - 6)$
$= (x + 10)(x - 2)$.
(2) 由题意，得
$-x^{2} + 8x - 20$
$= - (x^{2} - 8x + 20)$
$= - (x^{2} - 8x + 16 - 16 + 20)$
$= - (x - 4)^{2} - 4$.
$\because (x - 4)^{2} \geq 0$，
$\therefore - (x - 4)^{2} \leq 0$.
$\therefore - (x - 4)^{2} - 4 \leq - 4$.
$\therefore$ 当$x = 4$时，$-x^{2} + 8x - 20$的值最大，最大值为$-4$.