《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学必修第二册人教版》

16. (15分)如图，已知在平面直角坐标系中不重合的四点$A,B,C,D$满足以下条件：$\overrightarrow{AB}=(6,1),\overrightarrow{BC}=(k,-1),\overrightarrow{CD}=(-2,-3)$.

(1)若$\overrightarrow{BC}//\overrightarrow{DA}$，求$k$的值；
(2)若$\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BD}$，求四边形$ABCD$的面积.

答案： 解：
(1) 易知 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(k + 4,-3)$，$\because\overrightarrow{BC}=(k,-1)$，且 $\overrightarrow{BC}//\overrightarrow{DA}$，$\therefore-3k + k + 4 = 0$，解得 $k = 2$。
(2) 易知 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(k + 6,0)$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(k - 2,-4)$，$\because\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BD}$，$\therefore(k + 6)(k - 2)=0$，解得 $k=-6$ 或 $k = 2$。当 $k=-6$ 时，$\overrightarrow{AC}=(0,0)$，$A$，$C$ 两点重合，不满足条件，舍去，当 $k = 2$ 时，$\overrightarrow{AC}=(8,0)$，$\overrightarrow{BD}=(0,-4)$，$\therefore|\overrightarrow{AC}|=8$，$|\overrightarrow{BD}|=4$，$\therefore S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}\times8\times4 = 16$。

17. (15分)平面内有向量$\overrightarrow{OA}=(1,7),\overrightarrow{OB}=(5,1),\overrightarrow{OC}=(2,1)$(其中$O$为坐标原点)，点$P$是直线$OC$上的一个动点.
(1)若$\overrightarrow{PA}//\overrightarrow{PB}$，求$\overrightarrow{OP}$的坐标；
(2)当$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$取最小值时，求$\cos\angle APB$的值.

答案： 解：因为点 $P$ 是直线 $OC$ 上的一个动点，$\overrightarrow{OC}=(2,1)$，所以可设 $\overrightarrow{OP}=(2x,x)$，因为 $\overrightarrow{OA}=(1,7)$，$\overrightarrow{OB}=(5,1)$，所以 $\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}=(1 - 2x,7 - x)$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}=(5 - 2x,1 - x)$。
(1) 因为 $\overrightarrow{PA}//\overrightarrow{PB}$，所以 $(1 - 2x)(1 - x)-(7 - x)(5 - 2x)=0$，解得 $x=\frac{17}{8}$，所以 $\overrightarrow{OP}=(\frac{17}{4},\frac{17}{8})$。
(2) 因为 $\overrightarrow{PA}=(1 - 2x,7 - x)$，$\overrightarrow{PB}=(5 - 2x,1 - x)$，所以 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(1 - 2x)(5 - 2x)+(7 - x)(1 - x)=5x^{2}-20x + 12=5(x - 2)^{2}-8$，当 $x = 2$ 时，$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 取得最小值。此时 $\overrightarrow{PA}=(-3,5)$，$\overrightarrow{PB}=(1,-1)$，所以 $\cos\angle APB=\frac{\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|}=\frac{-8}{\sqrt{9 + 25}\times\sqrt{2}}=-\frac{4\sqrt{17}}{17}$。