《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学必修第二册人教版》

12.已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$60^{\circ}$，且$\vert\boldsymbol{a}\vert = 1$，$\vert2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert = \sqrt{7}$，则$\vert\boldsymbol{b}\vert =$______.

答案： 解析：$\because\vert2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{7}$，$\therefore4\boldsymbol{a}^{2}-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=7$，$\therefore4\times1^{2}-4\times1\times\vert\boldsymbol{b}\vert\cos60^{\circ}+\vert\boldsymbol{b}\vert^{2}=7$，解得$\vert\boldsymbol{b}\vert = 3$.
答案：$3$

13.已知$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$是单位向量，$\boldsymbol{e}_{1}\perp\boldsymbol{e}_{2}$，$\overrightarrow{AB}=2\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}$，$\overrightarrow{BC}=-\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2}$，$\overrightarrow{CD}=\lambda\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}$.若$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{CD}$，则实数$\lambda =$______；若$A,B,D$三点共线，则实数$\lambda =$______.(本小题第一空2分，第二空3分)

答案： 解析：$\because\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$是单位向量，$\boldsymbol{e}_1\perp\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{AB}=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{BC}=-\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{CD}=\lambda\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{CD}$，$\therefore\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\cdot(\lambda\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)=2\lambda - 1 = 0$，解得实数$\lambda=\frac{1}{2}$.
若$A,B,D$三点共线，$\overrightarrow{AB}=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(\lambda - 1)\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2$，则$\frac{2}{\lambda - 1}=\frac{1}{2}$，解得实数$\lambda = 5$.
答案：$\frac{1}{2}$ $5$

14.若$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$均为单位向量，且$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})\leqslant0$，则$\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\vert$的最大值为______.

答案： 解析：由$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$均为单位向量，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})\leq0$，得$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}\geq\boldsymbol{c}^{2}=1$，所以$\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\vert=\sqrt{(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})^{2}}=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}+\boldsymbol{c}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}-2\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}}=\sqrt{3 - 2\boldsymbol{c}\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})}\leq1$.
答案：$1$

15.(13分)已知单位向量$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$的夹角为$\frac{2\pi}{3}$，向量$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}$，向量$\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2}$.
(1)若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，求$\lambda$的值；
(2)若$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，求$\vert\boldsymbol{a}\vert$.

答案： 解：
(1)$\because$单位向量$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$的夹角为$\frac{2\pi}{3}$，$\therefore\boldsymbol{e}_1$与$\boldsymbol{e}_2$不共线.
$\because$向量$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2$，向量$\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2$，$\therefore$若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则$\frac{\lambda}{2}=\frac{-1}{3}$，解得$\lambda=-\frac{2}{3}$.
(2)$\because\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_2=1\times1\times\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$，且$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，$\therefore\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=(\lambda\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\cdot(2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2)=2\lambda\boldsymbol{e}_1^{2}+(3\lambda - 2)\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_2-3\boldsymbol{e}_2^{2}=2\lambda+(3\lambda - 2)\times(-\frac{1}{2})-3 = 0$，解得$\lambda = 4$，$\therefore\boldsymbol{a}=4\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2$，$\therefore\vert\boldsymbol{a}\vert=\sqrt{(4\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)^{2}}=\sqrt{16\boldsymbol{e}_1^{2}-8\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_2^{2}}=\sqrt{16 + 4 + 1}=\sqrt{21}$.

16.(15分)已知向量$\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$，且$\vert\boldsymbol{a}\vert = 3$，$\vert\boldsymbol{b}\vert = 2$，$\boldsymbol{b}\cdot(\boldsymbol{b}-\lambda\boldsymbol{a}) = 1$.
(1)求$\lambda$的值；
(2)记向量$\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$与向量$\frac{3}{2}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$的夹角为$\theta$，求$\cos2\theta$.

答案： 解：
(1)由$\boldsymbol{b}\cdot(\boldsymbol{b}-\lambda\boldsymbol{a})=1$，得$\boldsymbol{b}^{2}-\lambda\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1$.
又$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}=\vert\boldsymbol{b}\vert\cdot\vert\boldsymbol{a}\vert\cos\frac{\pi}{3}=3$，所以$4 - 3\lambda = 1$，所以$\lambda = 1$.
(2)$\cos\theta=\frac{\frac{1}{2}\boldsymbol{b}\cdot(\frac{3}{2}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})}{\frac{1}{2}\vert\boldsymbol{b}\vert\cdot\vert\frac{3}{2}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}\vert}=\frac{\frac{3}{4}\boldsymbol{b}^{2}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}}{\sqrt{(\frac{3}{2}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})^{2}}}=\frac{3-\frac{3}{2}}{\sqrt{9-\frac{3}{2}\times6 + 9}}=\frac{1}{2}$，所以$\cos2\theta=2\cos^{2}\theta - 1=-\frac{1}{2}$.