全品学练考九年级数学苏科版徐州专版
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10. （2024盐城期末）如图1-4-4，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地$ABCD$，在$AB$和$BC$边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形$ABCD$的宽$AD$为$x$米，矩形的长为$AB(AB＞AD)$．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含$x$的代数式表示$AB$的长；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则$AD,AB$的长分别为多少米？
答案：（1）$AB=44 - 2x$；（2）$AD=8$米，$AB=28$米
解析：（1）因为矩形$ABCD$的宽$AD$为$x$米，所以$BC=AD=x$米，又因为在$AB$和$BC$边各有一个2米宽的小门，所用铁栅栏的长为40米，所以$AB + BC + AD - 2 - 2=40$，即$AB + x + x - 4=40$，所以$AB=44 - 2x$；
（2）由（1）知$AB=44 - 2x$，矩形场地面积为$AD\times AB=x(44 - 2x)=192$，即$x(44 - 2x)=192$，整理得$x^{2}-22x + 96=0$，解得$x_{1}=8$，$x_{2}=12$，因为$AB>AD$，所以$44 - 2x>x$，即$x8$（符合题意）；当$x=12$时，$AB=44 - 2\times12=20$，$20>12$（符合题意），所以$AD=8$米，$AB=28$米或$AD=12$米，$AB=20$米。
11. （2024南通模拟）某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元，从今年1月份起使用新设备，生产收入增长且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．
（1）求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；
（2）购进新设备需一次性支付640万元，至少使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于这几个月使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费）
答案：（1）月增长率为$20\%$；（2）至少使用新设备12个月
解析：（1）设月增长率为$x$，$100 + 100(1 + x) + 100(1 + x)^{2}=364$，$x=0.2$或$x=-3.2$，$x=20\%$；
（2）设使用$n$个月，$364 + 100(1 + 0.2)^{2}(n - 3)-640\geq90n - 5n$，$n\geq12$。
12. 我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法．例如：求方程$x^{2}+2x=35$正根的方法：如图1-4-5，构造出4个长$(x + 2)$、宽为$x$的长方形，围成一个边长为$(x + 2 + x)$的正方形，所以$S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}=x(x + 2)$，$S_{5}=4$，得到大正方形的面积$4x(x + 2)+4=4×35 + 4=144$，故大正方形的边长为12，所以$x=5$．
（1）请利用上面的方法画出图形，求出方程$x^{2}+4x - 15=0$的正根，并写出分析过程；
（2）你能否用几何法求方程$m^{2}-2m - 5=0$的正根？如果可以，请直接画出图形，标注相关信息．
答案：（1）正根为$3$；（2）可以，图形见解析
解析：（1）方程$x^{2}+4x - 15=0$可化为$x^{2}+4x=15$，构造4个长$(x + 2)$、宽为$x$的长方形，围成一个边长为$(x + 2 + x)=2x + 2$的正方形，所以$S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}=x(x + 2)$，$S_{5}=4$，大正方形的面积为$4x(x + 2)+4=4\times15 + 4=64$，故大正方形的边长为8，所以$2x + 2=8$，解得$x=3$；
（2）可以，方程$m^{2}-2m - 5=0$可化为$m^{2}-2m=5$，构造1个边长为$m$的正方形，减去2个长$m$、宽1的长方形，加上1个边长为1的正方形，得到一个边长为$(m - 1)$的正方形，面积为$m^{2}-2m + 1=5 + 1=6$，故正方形的边长为$\sqrt{6}$，所以$m - 1=\sqrt{6}$，$m=1 + \sqrt{6}$。
