全品学练考九年级数学苏科版徐州专版
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1. （2024徐州月考）一元二次方程$4x^{2}-2x+\frac {1}{4}=0$的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断
答案：1. 首先明确一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的判别式公式：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。当$\Delta\gt0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta\lt0$时，方程没有实数根。
2. 然后确定方程$4x^{2}-2x+\frac{1}{4}=0$中$a$，$b$，$c$的值：
在方程$4x^{2}-2x+\frac{1}{4}=0$中，$a = 4$，$b=-2$，$c=\frac{1}{4}$。
3. 最后计算判别式$\Delta$的值：
根据$\Delta=b^{2}-4ac$，将$a = 4$，$b=-2$，$c=\frac{1}{4}$代入可得：
$\Delta=(-2)^{2}-4×4×\frac{1}{4}$。
先计算乘方和乘法：$(-2)^{2}=4$，$4×4×\frac{1}{4}=4$。
再计算减法：$\Delta=4 - 4$。
所以$\Delta=0$。
所以一元二次方程$4x^{2}-2x+\frac{1}{4}=0$有两个相等的实数根，答案是B。
2. （2024南京模拟）已知$a,b,c$为常数，点$P(a,c)$在第四象限，则关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0$的根的情况是（
A
）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断
答案：A
解析：点$P(a,c)$在第四象限，$a＞0$，$c＜0$，$\Delta =b^{2}-4ac$，$ac＜0$，$-4ac＞0$，$\Delta =b^{2}-4ac＞0$，方程有两个不相等的实数根，选A。
3. （2024盐城期中）对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$，有下列说法：
①若$a+b+c=0$，则$b^{2}-4ac\geq0$；
②若方程$ax^{2}+c=0$有两个不相等的实数根，则方程$ax^{2}+bx+c=0$必有两个不相等的实数根；
③若$c$是方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个根，则一定有$ac+b+1=0$成立．
其中正确的是（
A
）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
答案：A
解析：①$a+b+c=0$，$x=1$是方程的根，$\Delta\geq0$，正确；②方程$ax^{2}+c=0$有两个不相等的实数根，$-\frac{c}{a}＞0$，$\Delta =b^{2}-4ac\geq b^{2}＞0$，方程$ax^{2}+bx+c=0$必有两个不相等的实数根，正确；③$c$是方程的根，$ac^{2}+bc+c=0$，$c(ac + b + 1)=0$，$c=0$或$ac + b + 1=0$，错误，选A。
4. （2024宁波模拟）已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-3x+a=0$，从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为$a$的值，要使这个方程有实数根，并解此方程．
答案：当$a=1$时，方程的根为$x_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；当$a=2$时，方程的根为$x_{1}=1$，$x_{2}=2$
解析：$\Delta =9 - 4a\geq0$，$a\leq\frac{9}{4}$，$a=1$或$2$。
当$a=1$时，方程为$x^{2}-3x + 1=0$，$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$；
当$a=2$时，方程为$x^{2}-3x + 2=0$，$(x - 1)(x - 2)=0$，$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
5. 已知关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + 1=0(a≠0)$．
（1）当$b=a + 2$时，判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的$a,b$的值，并求此时方程的根．
答案：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）$a=1$，$b=2$，方程的根为$x_{1}=x_{2}=-1$
解析：（1）$b=a + 2$，$\Delta =b^{2}-4a=(a + 2)^{2}-4a=a^{2}+4＞0$，方程有两个不相等的实数根；
（2）$\Delta =b^{2}-4a=0$，取$a=1$，$b=2$，方程为$x^{2}+2x + 1=0$，$(x + 1)^{2}=0$，$x_{1}=x_{2}=-1$。
6. （2024南京模拟）若关于$x$的方程$a(x + 1)^{2}-b=0(a≠0)$有两个不相等的实数根，则（
C
）
A. $a - b＞0$
B. $a - b＜0$
C. $ab＞0$
D. $ab＜0$
答案：C
解析：方程化为$ax^{2}+2ax + a - b=0$，$\Delta =4a^{2}-4a(a - b)=4ab＞0$，$ab＞0$，选C。
7. （2024常州模拟）若一元二次方程$x^{2}+2x + m=0$有实数解，则$m$的取值范围是（
B
）
A. $m\leq - 1$
B. $m\leq1$
C. $m\leq2$
D. $m\leq\frac{1}{2}$
答案：B
解析：$\Delta =4 - 4m\geq0$，$m\leq1$，选B。
8. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x + a = 0$有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的实数$a$的值：____.
答案：0
9. 已知关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-(2k - 1)x + k - 2=0$有两个不相等的实数根，则实数$k$的取值范围是
$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$
。
答案：$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$
解析：$k≠0$，$\Delta=(2k - 1)^{2}-4k(k - 2)=4k + 1＞0$，$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$。
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