全品学练考九年级数学苏科版徐州专版
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13. 已知关于$x$的方程$x^{2}+x + n=0$的两个实数根分别为-2，$m$，求$m,n$的值.
答案：$m=1$，$n=-2$
解析：由根与系数的关系，得$-2 + m=-1$，$-2m=n$。解得$m=1$，$n=-2×1=-2$。
14. （2024泰州期末）已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2k - 1)x + k^{2}+1=0$。
（1）若方程有两个不相等的实数根，求$k$的取值范围；
（2）如果方程的两根之和等于两根之积，求$k$的值。
答案：（1）$k＜-\frac{3}{4}$；（2）$k=-2$
解析：（1）$\Delta=(2k - 1)^{2}-4×1×(k^{2}+1)=4k^{2}-4k + 1 - 4k^{2}-4=-4k - 3$。因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，即$-4k - 3＞0$，解得$k＜-\frac{3}{4}$。
（2）由根与系数的关系，得两根之和为$-(2k - 1)$，两根之积为$k^{2}+1$。已知两根之和等于两根之积，则$-(2k - 1)=k^{2}+1$，即$k^{2}+2k=0$，解得$k=0$或$k=-2$。又因为方程有实数根，所以$k＜-\frac{3}{4}$，故$k=-2$。
15. （2023通辽改编）阅读材料：已知一元二次方程$x^{2}-x - 1=0$的两个实数根分别为$m,n$，求$m^{2}n + mn^{2}$的值。
解：∵$m,n$是一元二次方程$x^{2}-x - 1=0$的两个实数根，∴$m + n=1$，$mn=-1$。则$m^{2}n + mn^{2}=mn(m + n)=-1×1=-1$。
根据上述材料，结合你所学的知识，回答下列问题：
（1）类比：已知一元二次方程$2x^{2}+3x - 1=0$的两个实数根分别为$m,n$，求$m^{2}+n^{2}$的值；
（2）提升：已知实数$s,t$满足$2s^{2}+3s - 1=0$，$2t^{2}+3t - 1=0$，且$s≠t$，求$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$的值。
答案：（1）$\frac{13}{4}$；（2）$\pm\sqrt{17}$
解析：（1）由根与系数的关系，得$m + n=-\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$。$m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn=(-\frac{3}{2})^{2}-2×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4} + 1=\frac{13}{4}$。
（2）因为$s,t$满足$2s^{2}+3s - 1=0$，$2t^{2}+3t - 1=0$，且$s≠t$，所以$s,t$是方程$2x^{2}+3x - 1=0$的两个根。则$s + t=-\frac{3}{2}$，$st=-\frac{1}{2}$。$(t - s)^{2}=(s + t)^{2}-4st=(-\frac{3}{2})^{2}-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4} + 2=\frac{17}{4}$，所以$t - s=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$。$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t - s}{st}=\frac{\pm\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\mp\sqrt{17}$，即$\pm\sqrt{17}$。
