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    基础训练大象出版社八年级数学人教版

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    15. (★★)如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,∠2=∠1+∠C.
    (1)求证:AD⊥BE;
    (2)若∠ABC=2∠1,求证:∠BAC=90°;
    答案：(1)设∠ABE=∠EBC=α，∠1=β，则∠2=β+∠C。
    在△BEC中，∠2=α+∠C，故β+∠C=α+∠C，得α=β。
    在△ABD中，∠ADB=180°-∠1-∠ABE=180°-β-α=180°-2α。
    因为α=β，∠2=α+∠C，又∠2+∠ADB=180°（平角），所以α+∠C+180°-2α=180°，得∠C=α。
    则∠ADB=180°-2α=180°-2∠C，又∠2=∠C+α=∠C+∠C=2∠C，所以∠ADB=180°-∠2，即∠ADB+∠2=180°，又∠ADB+∠ADE=180°，故∠ADE=∠2，又∠2=∠1+∠C=β+∠C=α+∠C=2∠C，∠ADE+∠BDE=180°，所以∠BDE=180°-2∠C，而∠EBC=α=∠C，在△BDE中，∠BED=180°-∠EBC-∠BDE=180°-∠C-(180°-2∠C)=∠C，所以∠BED=∠C=α，∠ADB=180°-2α=90°，即AD⊥BE。
    (2)因为∠ABC=2∠1，∠ABC=2α，所以2α=2β，得α=β，由(1)知α=∠C，∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-2α-α=180°-3α，又∠2=∠1+∠C=β+α=α+α=2α，在△ADC中，∠ADC=90°（已证AD⊥BE，BE与DC相交，此处∠ADC=90°），所以∠2+∠C=90°，即2α+α=90°，3α=90°，α=30°，故∠BAC=180°-3×30°=90°。
    16. (★★★)(1)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,若∠A=42°,求∠BOC的度数;
    (2)把(1)中“∠A=42°”这个条件去掉,试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系.
    答案：(1)∠ABC+∠ACB=180°-∠A=138°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，所以∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=69°，∠BOC=180°-69°=111°。
    (2)∠BOC=90°+1/2∠A。理由：∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=1/2(180°-∠A)=90°-1/2∠A，∠BOC=180°-(90°-1/2∠A)=90°+1/2∠A。
    17. (★★★)如图,在△ABC中,点D在边BC上,点E在边AC上,连接AD,DE,∠B=60°.
    (1)若∠3=60°,试说明∠1=∠2;
    (2)若∠C=40°,∠1=50°,且∠3=∠4,求∠2的度数.
    答案：
     (1) 在$\triangle ABD$中，$\angle B = 60^{\circ}$，
    $\angle 1 = 180^{\circ}-\angle B-\angle ADB = 120^{\circ}-\angle ADB$。
    又$\because \angle 3 = 60^{\circ}$，
    $\therefore \angle 2 = 180^{\circ}-\angle 3-\angle ADB = 120^{\circ}-\angle ADB$。
    $\therefore \angle 1 = \angle 2$。
    (2)$\because \angle C = 40^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，
    $\therefore \angle BAC = 180^{\circ}-\angle B-\angle C = 80^{\circ}$。
    又$\because \angle 1 = 50^{\circ}$，
    $\therefore \angle DAE = \angle BAC-\angle 1 = 30^{\circ}$。
    又$\because \angle 3 = \angle 4$，$\angle DEC+\angle 3+\angle 4 = 180^{\circ}$，
    $\therefore \angle 4 = 75^{\circ}$，
    $\therefore \angle DEC = 180^{\circ}-\angle 4 = 105^{\circ}$，
    $\therefore \angle 2 = 180^{\circ}-\angle DEC-\angle C = 35^{\circ}$。