Question

【题目】如图，直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA、PB、PO，

①若△POA的面积是△POB面积的倍．求点P的坐标；

②当四边形AOBP的面积最大时，求点P的坐标；

（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为；

（2）①P（，1），②P（1，0.5）；

（3）满足条件的点M的坐标（1+， （1﹣））或（1﹣， （1+））或（1，0.5）或M（﹣1-），（3+））或M（﹣1+），（3﹣））；

【解析】分析：（1）根据题意，先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析

（2）设出点P的坐标，①用△POA的面积是△POB面积的倍，建立方程求解即可；

②过点P作PH∥OB交AB于点H，设出H 点的坐标，再利用S四边形=S△AOB+ S△PAB求解即可；

（3）分OB为边和为对角线两种情况进行求解，①当OB为平行四边形的边时，则有MN∥OB，MN=OB，；

②当OB为对角线时，OB与MN互相平分，设交点为H，易得OH=BH，MH=NH，设出M，N坐标，建立方程组分别进行求解即可.

本题解析：（1）∵直线y=﹣ x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴A（2，0），B（0，1），

∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，

∴ ，

∴

∴抛物线解析式为

（2）①由（1）知，A（2，0），B（0，1），∴OA=2，OB=1，

由（1）知，抛物线解析式为

∵点P是第一象限抛物线上的一点，

∴设P（a，﹣a2+a+1），（（a＞0，﹣a2+a+1＞0），

∴S△POA=OA×Py=×2×（﹣a2+a+1）=﹣a2+a+1

S△POB=OB×Px=×1×a=a

∵△POA的面积是△POB面积的倍．

∴﹣a2+a+1=×a，

∴a = 或a=（舍）

∴P（，1）；

②由（1）知，抛物线解析式为

∵点P是第一象限抛物线上的一点，

∴设P（m，﹣m2+m+1），（0<m<2），

过点P作PH∥OB交AB于点H

∵点H在直线AB上，

∴设H（m，﹣ m+1），

∴PH=﹣m2+m+1﹣（﹣m+1）=m2﹣2m，

S四边形=S△AOB+ S△PAB =-（m-1）2+2

∴P（1，0.5）；

（3）即：满足条件的点M的坐标（1+， （1﹣））或（1﹣ ， （1+））或（1，0.5）或M（﹣1-），（3+））或M（﹣1+），（3﹣）；