Question

【题目】在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC边上一点，BN⊥AD交AD的延长线于点N．

（1）如图1，若CM∥BN交AD于点M．
①直接写出图1中所有与∠MCD相等的角：；（注：所找到的相等关系可以直接用于第②小题的证明过程
②过点C作CG⊥BN，交BN的延长线于点G，请先在图1中画出辅助线，再回答线段AM、CG、BN有怎样的数量关系，并给予证明 ．
（2）如图2，若CM∥AB交BN的延长线于点M．请证明：∠MDN+2∠BDN=180°．

Answer 1

【答案】
（1）∠CAD，∠CBN；在图1中画出图形，如图所示，

结论：AM=CG+BN，
证明：在△ACM和△BCG中，
，
∴△ACM≌△BCG，
∴CM=CG，AM=BG，
∵∠CMN=∠MNG=∠G=90°，
∴四边形MNGC是矩形，
∴CM=GN=CG，
∴AM=BG=BN+GN=BN+CG
（2）解：过点C作CE平分∠ACB，交AD于点E．

∵在△ACD和△BDN中，∠ACB=90°，AN⊥ND

∴∠4+∠ADC=90°=∠5+∠BDN

又∵∠ADC=∠BDN

∴∠4=∠5，

∵∠ACB=90°，AC=BC，CE平分∠ACB，

∴∠6=45°，∠2=∠3=45°

又∵CM∥AB，

∴∠1=∠6=45°=∠2=∠3，

在△ACE和△BCM中，

，

∴△ACE≌△BCM（ASA）

∴CE=CM

又∵∠1=∠2，CD=CD

∴∠CDE=∠CDM

又∵∠BDN=∠CDE，∠MDN+∠CDE+∠CDM=180°

∴∠MDN+2∠BDN=180°

【解析】解：（1）①∵CM∥BN，BN⊥AN，
∴∠CMD=∠N=90°，∠MCD=∠CBN，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠CAD=90°，∠MCD+∠ACM=90°，
∴∠MCD=∠CAD，
所以答案是∠CAD、∠CBN．
②在图1中画出图形，如图所示，

结论：AM=CG+BN，
证明：在△ACM和△BCG中，
，
∴△ACM≌△BCG，
∴CM=CG，AM=BG，
∵∠CMN=∠MNG=∠G=90°，
∴四边形MNGC是矩形，
∴CM=GN=CG，
∴AM=BG=BN+GN=BN+CG．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°)．