Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．

（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；
（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，点O是AB的中点，

∴OC=0B=OA=5．

∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．

∵∠DOE=∠B，

∴∠FOC=∠OCF．

∴FC=FO．

∴△COF是等腰三角形．

过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，

∵FC=FO，FH⊥OC，

∴CH=OH= ，∠CHF=90°．

∵∠HCF=∠B，∠CHF=∠BCA=90°，

∴△CHF∽△BCA．

∴ = ．

∵CH= ，AB=10，BC=6，

∴CF= ．

∴CF的长为 ．

（2）解：①若△OMN∽△BCO，如图2，

则有∠NMO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠NMO=∠B．

∵∠A=∠A，

∴△AOM∽△ACB．

∴ = ．

∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，

∴AC=8．

∵AO=5，AC=8，AB=10，

∴AM= ．

∴CM=AC﹣AM= ．

②若△OMN∽△BOC，如图3，

则有∠MNO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠MNO=∠B．

∵∠ACO=∠A，

∴△CON∽△ACB．

∴ = = ．

∵BC=6，AB=10，AC=8，CO=5，

∴ON= ，CN= ．

过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，

∵∠MNO=∠B，∠MON=∠B，

∴∠MNO=∠MON．

∴MN=MO．

∵MG⊥ON，即∠MGN=90°，

∴NG=OG= ．

∵∠MNG=∠B，∠MGN=∠ACB=90°，

∴△MGN∽△ACB．

∴ = ．

∵GN= ，BC=6，AB=10，

∴MN= ．

∴CM=CN﹣MN= ﹣ = ．

∴当CM的长是 或 时，△OMN与△BCO相似．

【解析】（1）在直角三角形中由∠ACB=90°，点O是AB的中点，得到OC=0B=OA，∠OCB=∠B，∠ACO=∠A，由∠DOE=∠B，得到∠FOC=∠OCF，由等角对等边得到FC=FO，即△COF是等腰三角形；由FC=FO，FH⊥OC，得到CH=OH ，由∠HCF=∠B，∠CHF=∠BCA，得到△CHF∽△BCA，得到 比例，求出CF的长；（2）①若△OMN∽△BCO，则有对应角相等，即∠NMO=∠OCB，由∠OCB=∠B，得到∠NMO=∠B；再由∠A=∠A，得到△AOM∽△ACB，根据勾股定理由∠ACB=90°，求出AC=8，得到AM的值，即CM=AC﹣AM；②若△OMN∽△BOC，则有对应角相等∠MNO=∠OCB，由∠OCB=∠B，得到∠MNO=∠B，又因为∠ACO=∠A，所以△CON∽△ACB，得到比例，求出ON、CN的值；由∠MNO=∠MO，得到MN=MO，因为MG⊥ON，得到NG=OG，因为∠MNG=∠B，∠MGN=∠ACB，得到△MGN∽△ACB，得到比例 ，求出MN的值，得到CM=CN﹣MN，求出当CM的长是 或 时，△OMN与△BCO相似．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直角三角形斜边上的中线(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，还要掌握勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)的相关知识才是答题的关键．