Question

【题目】在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE= ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

（1）当点P与点C重合时（如图①），求证：△BOG≌△POE；
（2）结合图②，通过观察、测量、猜想： 与 的关系，并证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若AC=8，BD=6，直接写出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，

∵PF⊥BG，∠PFB=90°，

∴∠GBO=90°﹣∠BGO，∠EPO=90°﹣∠BGO，

∴∠GBO=∠EPO，

在△BOG和△POE中，

∴△BOG≌△POE（ASA）；

（2）解：猜想 = ．

证明：如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．

∵∠OBC=∠OCB=45°，

∴∠NBP=∠NPB．

∴NB=NP．

∵∠MBN=90°﹣∠BMN，∠NPE=90°﹣∠BMN，

∴∠MBN=∠NPE，

在△BMN和△PEN中，

∴△BMN≌△PEN（ASA），

∴BM=PE．

∵∠BPE= ∠ACB，∠BPN=∠ACB，

∴∠BPF=∠MPF．

∵PF⊥BM，

∴∠BFP=∠MFP=90°．

在△BPF和△MPF中，

∴△BPF≌△MPF（ASA）．

∴BF=MF．

即BF= BM．

∴BF= PE．

即 = ；

故答案为 ；

（3）解：如图3，

过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°，

在Rt△BOC中，OC= AC=4，OB= BD=3，

∴tan∠ACB= =

由（2）同理可得：BF= BM，∠MBN=∠EPN，

∵∠BNM=∠PNE=90°，

∴△BMN∽△PEN．

∴ ．

在Rt△BNP中，tan∠ACB= = ，

∴ =tan∠ACB= ．

即 = ．

∴ = × = ．

【解析】（1）先依据正方形的性质以及P与C重合，可证明OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，由同角的余角相等可得到∠GBO=∠EPO，然后依据ASA可得到△BOG≌△POE；
（2）过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，然后依据ASA可证明△BMN≌△PEN、△BPF≌△MPF（ASA），从而可得到BM=PE，BF=BM．则可求得 的值；
（3）过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，由（2）可知到BF=，∠MBN=∠EPN，然后再可证明△BMN∽△PEN，然后由相似三角形的对应边成比例求解即可.
【考点精析】关于本题考查的正方形的性质，需要了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能得出正确答案．