Question

【题目】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， = = ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED= ∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵ = = ， 点E是点D关于AB的对称点，
∴ = ，
∴∠DOB=∠BOE=∠COD= =60°，∴①正确；
∠CED= ∠COD= =30°= ，∴②正确；
∵ 的度数是60°，
∴ 的度数是120°，
∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，
∵∠CED=30°，
∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；
做C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，
连接CD，

∵ = = = ，并且弧的度数都是60°，
∴∠D= =60°，∠CFD= =30°，
∴∠FCD=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴DF是⊙O的直径，
即DF=AB=10，
∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；
答案为：C．
利用圆心角的性质可得∠BOE∠DOB=∠BOE=∠COD= × 180 =60°;∠CED= ∠COD= ∠ D O B;利用对称法，可求出CM+DM的最小值是10.