Question

【题目】如图，C、D两点在以AB为直径的半圆O上，AD平分∠BAC，AB=20，AD=4 ，DE⊥AB于E．

（1）求DE的长．
（2）求证：AC=2OE．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接BD．

∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，BD= =
=4 ，
∵S△ADB= ADBD= ABDE
∴ADBD=ABDE，
∴DE= = =4 ，
即DE=4 ；
（2）解：证明：连接OD，作OF⊥AC于点F．
∵OF⊥AC，
∴AC=2AF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD．
又∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BOD，
Rt△OED和Rt△AFO中，
∵
∴△AFO≌△OED（AAS），
∴AF=OE，
∵AC=2AF，
∴AC=2OE．
【解析】（1）出现直径时，连接直径的端点和圆周上的一点，构成90度圆周角，利用勾股定理和面积法可以解决；（2）过圆心向弦引垂线，由垂径定理，得平分，构造出AC的一半，再证△AFO≌△OED，可证出结论.