Question

【题目】如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4,则BN的长为__________；

（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，不写画法，保留作图痕迹，画出一种情形即可）

Answer 1

【答案】或5

【解析】分析：（1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可；

（2）①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D.

详解：（1）①当MN为最大线段时，

∵点M，N是线段AB的勾股分割点，

∴BM=，

②当BN为最大线段时，

∵点M，N是线段AB的勾股分割点，

∴BN=，

综上，BN=或5；

（2）作法：①在AB上截取CE=CA；

②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；

③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；

点D即为所求；如图所示．