Question

【题目】如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点．连结、．下列结论：①；②；③是正三角形；④的面积为90．其中正确的是______(填所有正确答案的序号)．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根据折叠的性质可以得到∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，根据HL定理即可证明两三角形全等；

②不妨设BG=FG=x，（x＞0），则CG=30-x，EG=10+x，在Rt△CEG中，利用勾股定理即可列方程求得；

③利用②得出的结果，结合折叠的性质求得答案即可；

④根据三角形的面积公式可得：S△FGC=S△EGC，即可求解．

解：如图：

在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠B=∠C=90°，

又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G

∴∠AFG=∠AFE=∠D=90°，AF=AD，

即有∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，

在直角△ABG和直角△AFG中，

AB=AF，AG=AG，

∴△ABG≌△AFG；正确．

∵AB=30，点E在边CD上，且CD=3DE，

∴DE=FE=10，CE=20，

不妨设BG=FG=x，（x＞0），

则CG=30-x，EG=10+x，

在Rt△CEG中，（10+x）2=202+（30-x）2

解得x=15，于是BG=GC=15；正确．

∵BG=GF=CG，

∴△CFG是等腰三角形，

∵BG=AB，

∴∠AGB≠60°，

则∠FGC≠60°，

∴△CFG不是正三角形．错误．

∵，

∴，

∴S△FGC=S△EGC=××20×15=90．正确．

正确的结论有①②④．

故答案为：①②④．