Question

【题目】已知：在中，，点为直线上一动点(点不与重合).以为边作正方形，连接.

(1)如图1，当点在线段上时，求证：.

(2)如图2，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出三条线段之间的关系；

(3)如图3，当点在线段的反向延长线上时，且点分别在直线的两侧.其他条件不变，若连接正方形对角线，交点为，连接，探究的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)CF=BC+CD；(3)是等腰三角形，理由见解析.

【解析】

(1)根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CF；

(2)与(1)同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=BC+CD；

(3)根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形．

(1) ∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

，

，

，

在和中，

，

，

；

(2)，理由如下：

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，∠CAF=∠CAD+∠DAF=∠CAD+90°，

，

在和中，

，

，

，

∵BD=BC+CD，

∴CF=BC+CD；

(3)，

，

则，

四边形是正方形，

，

，

，

，

在和中，，

，

，

，

则为直角三角形，

正方形中，为中点，

，

在正方形中，，

，

是等腰三角形.