Question

【题目】已知三角形的一锐角α（45°＜α＜90°）的正弦和余弦分别是方程（m+5）x2﹣（2m﹣5）x+12＝0的两根，求：

（1）m的值；

（2）α的正弦值和余弦值．

Answer 1

【答案】（1）20；（2）sinα＝，cosα＝

【解析】

（1）设一个直角三角形的两个锐角为∠A、∠B，且∠A+∠B＝90°，利用正弦三角公式及完全平方公式得﹣2sinAsinB＝1，列一元二次方程求解即可；

(2) 当m=20时，方程转化为（5x﹣3）（5x﹣4）＝0，求解即可得到正弦值和余弦值，且注意α为锐角．

解：（1）设一个直角三角形的两个锐角为∠A、∠B（∠A+∠B＝90°），

∴sinB＝cosA，

根据题意，得：sinA+sinB＝，sinAsinB＝，

∵，

∴﹣2sinAsinB＝1，

∴﹣2×＝1，

解得＝20，＝﹣2，

检验：把＝20代入检验是原方程的根，把＝﹣2代入检验是原方程的根，

∵sinA+sinB＝＞0，sinAsinB＝＜1，

∴m＝20；

（2）当m＝20时，方程转化为（5x﹣3）（5x﹣4）＝0，

解得，

∵45°＜α＜90°，

∴sinα＞cosα，

∴sinα＝，cosα＝．