Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式．
（2）D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．
①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围．
②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，

∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

又∵点C（0，3）在抛物线图象上，

∴3=a×（0+1）×（0﹣3），解得：a=﹣1．

∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．

故答案为：y=﹣x2+2x+3．

（2）解：①设直线BC的函数解析式为y=kx+b．

∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），

∴ ，解得： ，

∴y=﹣x+3．

设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），

∴DE=（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．

∴S= OBDE= （﹣m2+3m）=﹣ m2+ m，（0＜m＜3）

②S=﹣ m2+ m=﹣ （m﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴当m= 时，S有最大值，最大值S=

【解析】（1）因为抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）因为直线BC过点B（3，0），C（0，3），用待定系数法求出直线的解析式，根据△BCD的面积为S，求出s与m的关系，得到m的值，求出S的最大值.