Question

【题目】如图，在ABCD中，AD＞AB，AM、BN、CP、DQ为四个内角的角平分线，P、为AD边上两点，其中AM与DQ相交于E，BN与CP相交于F，AM与BN相交于G，CP与DQ相交于H．

（1）求证：四边形EHFG是矩形．

（2）ABCD满足　 时，四边形EHFG为正方形；ABCD满足　 时，F点落在AD边上．（与点P、点N重合）

（3）探究矩形EHFG的对角线长度与ABCD的边长之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）∠BAD＝90°，且BC＝2AB ；BC＝2AB；（3）GH＝BC﹣AB；证明见解析.

【解析】

（1）根据平行线的性质及角平分线的定义证明四边形EHFG有三个角是直角即可；

（2）由（1）可得，四边形EHFG是矩形，若四边形EHFG为正方形，则有一组临边相等即可；若F点落在AD边上．（与点P、点N重合），则可得由（1）得：AF＝AB，DF＝CD，AG⊥BN，利用平行四边形的性质等量代换即可得到AB与BC的关系.

（3）连接EF、GH，由（1）（2）结论证四边形BQDN是平行四边形，四边形GHQB是平行四边形，即可得到其数量关系.

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC＝180°．

∵AM，BN分别平分∠DAB，∠ABC，

∴∠MAB+∠NBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．

∴∠EGF＝∠AGB＝90°，

同理：∠EHF＝90°，∠GEH＝90°，

∴四边形EHFG是矩形；

（2）ABCD满足∠BAD＝90°，且BC＝2AB时，四边形EHFG为正方形；理由如下：

此时F点落在AD边上，与点P、点N重合，如图1所示：

由（1）得：四边形EHFG是矩形，AG⊥BN，

∵AD∥BC，

∴∠AFB＝∠CBF，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∴∠AFB＝∠ABF，

∴AF＝AB，

同理：DF＝CD，

∴AF＝AB＝BE，

∵∠BAD＝90°，

∴△BAF、△ABE是等腰直角三角形，

∵AE⊥BF，

∴BG＝FG，AG＝EG，

∴AG＝BF＝BG＝FG，

∴FG＝EG，

∴四边形EHFG为正方形，

故答案为：∠BAD＝90°，且BC＝2AB；

ABCD满足BC＝2AB时，F点落在AD边上．（与点P、点N重合）；理由如下：

如图2所示：

由（1）得：AF＝AB，DF＝CD，AG⊥BN，

∴AF＝DF＝AB，

∴AD＝2AB，

∴BC＝2AB，

故答案为：BC＝2AB；

（3）矩形EHFG的对角线长度与ABCD的边长之间的数量关系为GH＝BC﹣AB；理由如下：如图3所示：连接EF、GH

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，

∵四边形EHFG是矩形，

∴GH＝EF，BN∥DQ，

∴四边形BQDN是平行四边形，

∴BN＝DQ，

同（1）（2）得：AG⊥BN，AN＝AB，CQ＝CD＝AB，

∴BG＝NG，

同理：DH＝QH，

∴BG＝QH，

∴四边形GHQB是平行四边形，

∴GH＝BQ＝BC﹣CQ＝BC﹣AB．