Question

【题目】如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．

（1）求抛物线C1的表达式；

（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；

（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；

（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1；（2）MN=t2+2；（3）t的值为1或0；（4）满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）

【解析】（1）利用待定系数法进行求解即可；

（2）把x=t代入函数关系式相减即可得；

（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况即可得；

（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点，利用勾股定理进行计算．

（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），

∴，解得：，

∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1；

（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M，

∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1，

∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2；

（3）共分两种情况

①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1），

∴AN=t﹣（﹣2）=t+2，

∵MN=t2+2，

∴t2+2=t+2，

∴t1=0（舍去），t2=1，

∴t=1；

②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1），

∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，

∵MN=t2+2，

∴t2+2=t+2，

∴t1=0，t2=1（舍去），

∴t=0，

故t的值为1或0；

（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：

易得K（0，3），B、O、N三点共线，

∵A（﹣2，1），N（1，1），P（0，﹣1），

∴点K、P关于直线AN对称，

设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2），

∴Q2与点O关于直线AN对称，

∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP，

则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1、Q2关于KN的对称点Q3、Q4也满足∠KNQ=∠BNP，

由图形易得Q1（﹣1，3），

设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2，

由∵⊙K半径为1，

∴，解得：，，

同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=，

∴，解得：，，

∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）.