Question

【题目】如图，在△MNQ中，MN=11，NQ=，，矩形ABCD，BC=4，CD=3，点A与M重合，AD与MN重合．矩形ABCD沿着MQ方向平移，且平移速度为每秒5个单位，当点A与Q重合时停止运动．

（1）MQ的长度是　 　；

（2）运动　 　秒，BC与MN重合；

（3）设矩形ABCD与△MNQ重叠部分的面积为S，运动时间为t，求出S与t之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）　10　；（2）　1　；（3）S=12t；S=12；S=﹣8.25t+22.5；S=﹣t+35.

【解析】试题分析：（1）过Q作QH⊥MN于H，根据 求出NH=3，求出MH，根据勾股定理求出QH，即可求出答案；

（2）连接BD，解直角三角形求出QM∥BD，当BC和MN重合时，B正好到D点，求出BD的长即可；

（3）分为四种情况：①当BC运动到MN上时；②当点D运动到QN上时；③当C运动到QN上时；④当C运动到△QMN的外部，即＜t≤2时．

解：（1）如图1，过Q作QH⊥MN于H，

∵QN=3，cosN==，

∴NH=3，

∴MH=11﹣3=8，

在Rt△NHQ中，由勾股定理得：QH==6，

在Rt△QMH中，由勾股定理得：MQ==10，

故答案为：10．

（2）连接BD，如图1，

∵tan∠ABD==，tan∠QMN===，

∴QM∥BD，

当BC和MN重合时，B正好到D点，由勾股定理得：BD=5，

5÷5=1，

即运动1秒时，BC和MN重合，

故答案为：1．

（3）分为四种情况：

①当BC运动到MN上时，此时0＜t≤1，如图2，

∵sinM==，

∴=，

∴AK=3t，

∵AD=4，

∴S=43t=12t；

②当D到QN上时，此时1＜t≤，如图3，

∵△QAD∽△QMN，

∴=，

∴=，

∴QR=，

∵AD∥MN，

∴△QAR∽△QMH，

∴=，

∴=，

∴t=，

即此时1＜t≤，

S=3×4=12；

③当C到QN上时，此时＜t≤，如图4，

∵AD∥MN，

∴∠AFQ=∠N=∠DFC，

∵∠D=∠QHN=90°，

∴△DFC∽△HNQ，

∴=，

∴=，

∴DF=1.5，

AF=4﹣1.5=2.5，

∵AD∥MN，

∴△QAF∽△QMN，

∴=，

∴=，

∴t=，

即当C到QN上时，t=，

∵=，

∴=，

∴AF=11﹣5.5t，

S=（AF+BC）×CD

=（11﹣5.5t+4）3，

S=﹣8.25t+22.5；

④当＜t≤2时，如图5，

∵AD∥MN，

∴△QAF∽△QMN，

∴=，

∴=，

∴AF=11﹣5.5t，

过K作KP⊥AD于P，

则△KPF∽△QHN，

∴=，

∴=，

∴PF=1.5，

∴BK=AP=AF+PF=11﹣5.5t+1.5=12.5﹣5.5t，

∴S=（AF+BK）CD= [11﹣5.5t+12.5﹣5.5t]×3，

S=﹣t+35.25．