Question

【题目】感知：如图①，∠C=∠ABD=∠E=90°，可知△ACB∽△BED．（不要求证明）

拓展：如图②，∠C=∠ABD=∠E．求证：△ACB∽△BED．

应用：如图③，∠C=∠ABD=∠E=60°，AC=4，BC=1，则△ABD与△BDE的面积比为

　 　．

Answer 1

【答案】拓展：见解析；应用：　13：3；

【解析】试题分析：拓展：由∠C=∠ABD=∠E与∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，即可求得∠CAB=∠DBE，即可证得：△ACB∽△BED．

应用：由△ACB∽△BED，根据相似三角形的对应边成比例，可求得△ABC与△BDE的面积比，△ABC与△ABE的面积比，继而求得答案．

拓展：证明：∵∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠C=∠ABD，

∴∠CAB=∠DBE，

∵∠C=∠E，

∴△ACB∽△BED；

应用：解：∵∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠C=∠ABD，

∴∠CAB=∠DBE，

∵∠C=∠E=60°，

∴△ACB∽△BED，△ACE是等边三角形，

∴AE=AC=4，

∴BE=CE﹣BC=3，

∴△ACB与△BED的相似比为：4：3，

∴S△ABC：S△BED=16：9，S△ABC：S△ABE=1：3=16：48，

设S△ABC=16x，则S△ABE=48x，S△BDE=9x

∴S△ABD=S△ABE﹣S△BED=48x﹣9x=39x，

∴S△ABD：S△BDE=39：9=13：3．

故答案为：13：3．