Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F，AE，CF分别与BD交于点G和H，且AB= ．

（1）若tan∠ABE =2，求CF的长；
（2）求证：BG=DH．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDF=∠ABE，DC=AB= ，
∵tan∠ABE=2，
∴tan∠CDF=2，∵CF⊥AD，
∴△CFD是直角三角形，
∴ =2，设DF=x，则CF=2x，
在Rt△CFD中，由勾股定理可得（2x）2+x2=（ ）2，
解得x=2或x=﹣2（舍去），
∴CF=4；
（2）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠GAD=∠HCB=90°，
∴△AGD≌△CHB，
∴BH=DG，
∴BG=DH．
【解析】（1）由平行四边形的性质，结合三角函数的定义，在Rt△CFD中，可求得CF=2DF，再利用勾股定理可求得CF的长。
（2）利用平行四边形的性质结合条件可证得△AGD≌△CHB，则可求得BH=DG，从而可证得BG=DH。