Question

【题目】如图，四边形中，，，连接，，点为的中点，射线交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）根据DE＝EC，AF∥BC，得出内错角相等，证明△BCE≌△FDE，可判断BC∥DF且BC＝DF，从而得出四边形BCDF为平行四边形，再根据菱形的判定求解即可；

（2）根据菱形的性质得到BD＝DF＝BC＝2，根据勾股定理可得AB，根据线段的和差关系可得AF，再根据勾股定理可得BF的长．

解：（1）∵AF∥BC，

∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，

∵点E为CD的中点，

∴DE=EC，

在△BCE与△FDE中，

，

∴△BCE≌△FDE；

∴DF=BC，

又∵DF∥BC，

∴四边形BCFD为平行四边形，

∵BD=BC，

∴四边形BCFD是菱形；

（2）∵四边形BCFD是菱形，AD=1，BC=2，

∴BD=DF=BC=2，

在Rt△BAD中，AB=

∵AF=AD+DF=1+2=3，

在Rt△BAF中，BF=．