Question

【题目】在菱形中，，，点是边上的中点，点是上的一动点（不与点重合），延长交射线于点，连结、．

求证：四边形是平行四边形；

填空：①当________时，四边形是矩形；②当________时，四边形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①；②．

【解析】

（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；

（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA＝90°，所以AM＝AD＝1时即可；

②当平行四边形AMND的邻边AM＝DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴ND∥AM，

∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，

又∵点E是AD边的中点，

∴DE＝AE，

∴△NDE≌△MAE，

∴ND＝MA，

∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD＝2．

∵AM＝AD＝1，

∴∠ADM＝30°

∵∠DAM＝60°，

∴∠AMD＝90°，

∴平行四边形AMDN是矩形；

故答案为：1；

②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：

∵AM＝2，

∴AM＝AD＝2，

∴△AMD是等边三角形，

∴AM＝DM，

∴平行四边形AMDN是菱形，

故答案为：2．