Question

【题目】如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点．点P是x轴上的一个动点．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）求C，D两点坐标及△BCD的面积；
（3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD= S△BCD ， 求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线的顶点为A（1，4），

∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4，

把点B（0，3）代入得，a+4=3，

解得a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4

（2）

解：由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；

令y=0，则0=﹣（x﹣1）2+4，

∴x=﹣1或x=3，

∴C（﹣1，0），D（3，0）；

∴CD=4，

∴S△BCD= CD×|yB|= ×4×3=6

（3）

解：由（2）知，S△BCD= CD×|yB|= ×4×3=6；CD=4，

∵S△PCD= S△BCD，

∴S△PCD= CD×|yP|= ×4×|yP|=3，

∴|yP|= ，

∵点P在x轴上方的抛物线上，

∴yP＞0，

∴yP= ，

∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；

∴ =﹣（x﹣1）2+4，

∴x=1± ，

∴P（1+ ， ），或P（1﹣ ， ）

【解析】（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x﹣1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；（2）令y=0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；（3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标．