Question

【题目】设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

（1）当△ABC为等腰直角三角形时，求b2﹣4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当△ABC为等腰直角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则AB=2CD；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴△＞0，

∴|b2﹣4ac|=b2﹣4ac，

∵AB= ，

又∵CD= （a≠0），

∴ = ，

即 = ，

∴b2﹣4ac= ，

∵b2﹣4ac≠0，

∴b2﹣4ac=4

（2）

解：如图，当△ABC为等边三角形时，

由（1）可知CE= AE= AB，

∴ = × ，

∵b2﹣4ac＞0，

∴ = ，

∴b2﹣4ac=12．

【解析】（1）由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b2﹣4ac＞0；可求得线段AB的表达式，利用公式法可得到顶点C的纵坐标，进而求得斜边AB上的高（设为CD），若△ABC为等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根据这个等量关系求出b2﹣4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE= AE= AB，据此列出方程，解方程求出b2﹣4ac的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°，以及对等边三角形的性质的理解，了解等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．