Question

【题目】如图，P是抛物线y=2（x﹣2）2对称轴上的一个动点，直线x=t平行y轴，分别与y=x、抛物线交于点A，B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t= ．

Answer 1

【答案】 或1或3
【解析】解：∵y=2（x﹣2）2
∴y=2x2﹣8x+8，
∵直线x=t分别与直线y=x、抛物线y=2x2﹣8x+8交于点A、B两点，
∴设A（t，t），B（t，2t2﹣8t+8），AB=|t﹣（2t2﹣8t+8）|=|2t2﹣9t+8|，
①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠PAB=90°，此时PA=AB=|t﹣2|，
即|2t2﹣9t+8|=|t﹣2|，
∴2t2﹣9t+8=t﹣2，或2t2﹣9t+8=2﹣t，
解得t= 或1或3；
②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，此时PB=AB=|t﹣2|，结果同上．
故答案为： 或1或3．
依题意，y=2x2﹣8x+8，设A（t，t），B（t，2t2﹣8t+8），则AB=|t﹣（2t2﹣8t+8）|=|2t2﹣9t+8|，当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PAB=90°，PA=AB=|t﹣2|；当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，PB=AB=|t﹣2|；分别列方程求k的值．